Seminar über einfachen Theorien

Zeit/Ort

Beschreibung

In Shelahs Klassifikationsprogramm werden vollständige Theorien erster Stufe danach eingeteilt, ob bestimmte unendliche kombinatorische Muster mittels Formeln beschrieben werden können. Ein wichtiges Beispiel für ein solches Muster ist die Baumeigenschaft, die (in etwa) besagt, dass ein unendlich verzweigter Baum von unendlicher Tiefe kodiert werden kann. Eine vollständige Theorie, in der keine Formel die Baumeigenschaft hat, heißt einfach. Jede stabile Theorie (wie etwa die Theorie eines algebraisch abgeschlossenen Körper oder die Theorie der K-Vektorräume über einem fest gewähltem Körper K) ist einfach, ein weiteres zentrales Beispiel einer einfachen Theorie ist die Theorie des Zufallsgraphen.

In jeder einfachen Theorie gibt es eine Unabhängigkeitsrelation, die lineare Unabhängigkeit in Vektorräumen und algebraische Unabhängigkeit in algebraisch abgeschlossenen Körpern verallgemeinert. Umgekehrt sagt der Satz von Kim-Pillay, dass immer wenn es in einer Theorie eine 'vernünftige' Unabhängigkeitsrelation gibt, die Theorie bereits einfach ist.

In diesem Seminar werden wir uns einfache Theorien erarbeiten und den Satz von Kim-Pillay beweisen. Wir zeigen mittels Kim-Pillay, dass die Theorie eines algebraisch abgeschlossenen Körpers mit generischem Automorphismus und die Theorie eines pseudoendlichen Körpers einfach sind. Hierbei fangen wir mit den Grundlagen an, so dass als Voraussetzung für das Seminar die Vorlesung Logik 1 und der Besuch der Modelltheorievorlesung im gleichen Semester genügen.

Die Vorbesprechung findet am 10.7.18 um 12st im Lichthof im 8ten Stock statt. Sollten Sie an dieser nicht teilnehmen können und dennoch Interesse an einer Seminarteilnahme haben, können Sie sich per Email an Franziska Jahnke <franziska.jahnke@wwu.de> wenden.

Literatur

• [TZ] K. Tent, M. Ziegler: "A course in model theory" (Kapitel 7) Lecture Notes in Logic, 40. Association for Symbolic Logic, La Jolla, CA; Cambridge University Press, Cambridge, 2012. x+248 pp. ISBN: 978-0-521-76324-0
• [W] F. Wagner: "Simple theories" Mathematics and its Applications, 503. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. xii+260 pp. ISBN: 0-7923-6221-7
• [C] E. Casanovas: "Simple theories and hyperimaginaries" Lecture Notes in Logic, 39. Association for Symbolic Logic, Chicago, IL; Cambridge University Press, Cambridge, 2011. xiv+169 pp. ISBN: 978-0-521-11955-9
• [K] B. Kim: "Simplicity theory" Oxford Logic Guides, 53. Oxford University Press, Oxford, 2014. x+224 pp. ISBN: 978-0-19-856738-7
• [KP] B. Kim, A. Pillay "Simple theories" Annals of Pure and Applied Logic 88 (1997): 149-164
• [CP] Z. Chatzidakis, A. Pillay. "Generic structures and simple theories" Annals of Pure and Applied Logic 95 (1998): 71-92
• [CH] Z. Chatzidakis, U. Hrushovski. "Model theory of difference fields" Transactions of the American Mathematical Society 351 (1999), no. 8, 2997-3071

Vorläufiges Programm

• Woche 1 - Kombinatorik: Ramsey, Erdos-Rado; Philipp Kretschmer; Schrift
• Woche 2 - Typen, Saturierheit, Homogeneität, das Monstermodell; Konrad Bals; Schrift
• Woche 3 - Indiscernables, Beispiele, Lemmata; Christoph Kesting; Schrift
• Woche 4 - Teilen und Forken; Blaise Boissonneau Schrift
• Woche 5 - Algebraische Beispiele und Stabilität; Tim Clausen
• Woche 6 - Der Zufallsgraph; Thomas Koch Schrift
• Woche 7 - Einfachheit, NTP, NIP; Fan Feng Schrift
• Woche 8 - Eigenschaften einfacher Theorien I, Morleyfolgen; Kletus Stern Schrift
• Woche 9 - Eigenschaften einfacher Theorien II; Anna-Maria Ammer Schrift
• Woche 10 - Der Unabhängigkeitsatz; Leon Pernak
• Woche 11 - Kim-Pillay; Florian Felix
• Woche 12 - TA; Timo Krisam
• Woche 13 - ACFA; Martin Hils Schrift
• Woche 14 - Pseudoendliche Körper; Martin Hils Schrift