\providecommand{\bi}[2]{#1}
%weekly \newcommand{\bi}[2]{#2}
%\newcommand{\bi}[2]{{\color{teal}#1} {\color{brown}#2}}

!newtrans and und
!newtrans but aber
!newtrans or oder
!newtrans nor noch
!newtrans of von
!newtrans by durch
!newtrans if wenn
!newtrans iff gdw
!newtrans is ist
!newtrans for für
!newtrans with mit
!newtrans over über
!newtrans let sei
!newtrans say sei
!newtrans set setze
!newtrans since weil
!newtrans then dann
!newtrans either entweder
!newtrans neither weder
!newtrans where wobei
!newtrans hence daher
!newtrans here hier
!newtrans so somit
!newtrans now nun
!newtrans WLOG OBdA
!newtrans clear klar
!newtrans model Modell
!newtrans theory Theorie
!newtrans theories Theorien
!newtrans tuple Tupel
!newtrans tuples Tupeln
!newtrans formula Formel
!newtrans formulas Formeln
!newtrans sentence Aussage
!newtrans sentences Aussagen
!newtrans structure Struktur
!newtrans structures Strukturen
!newtrans countable abzählbar
!newtrans conversely umgekehrt
!newtrans categorical kategorisch
!newtrans categoricity Kategorizität
!newtrans saturated saturiert
!newtrans saturation Saturiertheit
!newtrans universal universell
!newtrans isolates isoliert
!newtrans stable stabil
!newtrans stability Stabilität
!newtrans strongly stark
!newtrans homogeneous homogen
!newtrans independent unabhängig
!newtrans basis Basis
!newtrans Exercise ÜA

!newcal A
!newcal B
!newcal M
!newcal N
!newcal U
!newbb C
!newbb R
!newbb Q
!newbb Z
!newbb F
!newop id
!newop Th
!newop tp
!newop qf
!newop qftp
!newop cl
!newop Aut
!newop ZFC
!newop acl
!newop On
!newop MR
!newop MD
!newop MRD
!renewtup a
!renewtup b
!renewtup c
!renewtup d
!newtup x
!newtup X
!newtup y
!newtup z
!newtup w
!newop cof

\newcommand{\VS}{\operatorname{\<VS|VR>}}

% smarter b/esphack from https://tex.stackexchange.com/a/431187
% FIXME: get unwanted linebreaks sometimes
\makeatletter              %% <- make @ usable in macro names
\newskip\my@savsk          %% <- holds a skip
\newcount\my@savsf         %% <- holds space factor
\newcount\my@savpn         %% <- holds penalty (for line breaking)
\newcommand*{\mybsphack}{% %% <- this % is relevant, see the comments
  \relax\ifhmode           %% <- if in horizontal mode
    \my@savsk\lastskip     %% <- store \lastskip
    \@savsf\spacefactor    %% <- store \spacefactor
    \my@savpn\lastpenalty  %% <- store \lastpenalty
    \unskip                %% <- remove the last skip
  \fi
}
\newcommand*{\myesphack}{% %% <- this % is relevant, see the comments
  \relax\ifhmode           %% <- if in horizontal mode
    \penalty\my@savpn      %% <- restore the penalty
    \spacefactor\@savsf    %% <- restore the space factor
    \ifdim\my@savsk>\z@    %% <- if the removed skip was positive
      \hskip\my@savsk      %% <- then reinsert it
      \ignorespaces        %% <- and ignore subsequent spaces
    \fi
  \fi
}
\makeatother               %% <- change @ back

%\def\<#1|#2>{\bi{#1\mybsphack\myesphack}{#2\mybsphack\myesphack}}
\makeatletter
\def\<#1|#2>{\bi{#1\@bsphack\@esphack}{#2\@bsphack\@esphack}}
\makeatother
%\def\<#1|#2>{\bi{#1}{#2}}

\renewcommand{\th}{\theta}
\newcommand{\sg}{\sigma}
\newcommand{\Sg}{\Sigma}
\newcommand{\calB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\calF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\dotcup}{\dot\cup}
\newcommand{\MM}{\mathbb{M}}

\newcommand{\tee}{\top}
\newcommand{\eet}{\bot}

\newcommand{\Fpalg}{\|F_p^{\"alg}}
\newcommand{\Qalg}{\Q^{\"alg}}

% soft (quasi)quoting
\newcommand{\qt}[1]{\;#1\;}

\let\polishL\L
\newcommand{\Los}{\polishL{ }o\'s}
!renewcal L

\newcommand{\Lring}{\L_{\"ring}}

\newcommand{\fin}{\bi{\"fin}{\"end}}

\newcommand{\pow}{\mathcal{P}}
\newcommand{\powfin}{\mathcal{P}^{\fin}}

\newcommand{\defn}[1]{{\bf #1}}

%\newcommand{\?}[1]{\textcolor{red}{?}#1}
%\newcommand{\?}{{\bf?}}
:::\newcommand{\?}{}

% quantifier separator
%\renewcommand{\.}{.\;}
\renewcommand{\.}{.\>}

\newcommand{\dom}[1]{{\operatorname{dom}#1}}
\newcommand{\im}[1]{{\operatorname{im}#1}}

\newcommand{\slantfrac}[2]{\hbox{$\,^{#1}\!/_{#2}$}}  % Due to Shawn P. Neugebauer
\newcommand{\quot}[2]{\slantfrac{#1}{#2}}

:::\newcommand{\embar}{\ar@{^{(}->}}
:::\newcommand{\embarrev}{\ar@{_{(}->}}
:::\newcommand{\embarex}{\ar@{^{(}.>}}
:::\newcommand{\embarrevex}{\ar@{_{(}.>}}

% From https://tex.stackexchange.com/questions/152485/long-dashed-right-arrow
\makeatletter
\newcommand{\xleftrightarrow}[2][]{\ext@arrow 3359\leftrightarrowfill@{#1}{#2}}
\newcommand{\xdashrightarrow}[2][]{\ext@arrow 0359\rightarrowfill@@{#1}{#2}}
\newcommand{\xdashleftarrow}[2][]{\ext@arrow 3095\leftarrowfill@@{#1}{#2}}
\newcommand{\xdashleftrightarrow}[2][]{\ext@arrow 3359\leftrightarrowfill@@{#1}{#2}}
\def\rightarrowfill@@{\arrowfill@@\relax\relbar\rightarrow}
\def\leftarrowfill@@{\arrowfill@@\leftarrow\relbar\relax}
\def\leftrightarrowfill@@{\arrowfill@@\leftarrow\relbar\rightarrow}
\def\arrowfill@@#1#2#3#4{%
  $\m@th\thickmuskip0mu\medmuskip\thickmuskip\thinmuskip\thickmuskip
   \relax#4#1
   \xleaders\hbox{$#4#2$}\hfill
   #3$%
}
\makeatother

%\newcommand{\dasharrow}{\xdashrightarrow}

\title{Logik II: \<Model theory|Modelltheorie>}
\date{Universität Münster, Wintersemester 2019-2020\footnote{
\<These lecture notes are licensed under the Creative Commons 
Attribution-Sharealike licence
|Dieses Skript ist unter der Creative Commons Attribution-Sharealike Lizenz>
CC-BY-SA 4.0
\url{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}
\<by|durch> Martin Bays \href{mailto:baysm@wwu.de}{\nolinkurl{<baysm@wwu.de>}} 
2019-2020\<| lizenziert>.}\\\
\input{version.tex} \<en|de>\footnote{
\<Dieses Skript ist auch auf Deutsch verfügbar.
|These notes are also available in English.>
}
}
\author{Martin Bays}

\maketitle

\tableofcontents

# \<Overview|Überblick>

***)
  \bi
  {A key goal of model theory is to understand the /definable sets/ of a 
  structure $\M$, the subsets of powers $\M^n$ defined by formulas.}
  {Ein Hauptziel von Modelltheorie ist das Verständnis der definierbaren 
  Mengen einer Struktur $\M$, d.h. die Teilmengen der Potenzen $\M^n$, die 
  durch Formeln definiert sind.}

** Gödel vs Tarski:
  \bi
  {Some structures have uncontrollably wild definable sets, becoming ever more 
  complicated as we allow more quantifiers;
  for example, in $(\|N;+,\cdot)$, already with one unbounded existential 
  quantifier we can define arbitrary recursively enumerable sets.}
  {Die definierbaren Mengen einiger Strukturen sind unkontrollierbar wild, und 
  werden komplizierter, wenn wir mehr Quantoren erlauben.
  Zum Beispiel: In $(\|N;+,\cdot)$ können wir bereits mit nur einem 
  unbeschränkten Quantor jede rekursiv aufzählbare Menge definieren.}

  \bi
  {However, it is a remarkable fact that many structures important to 
  mathematics avoid these Gödelian phenomena and are ``tame'':
  their definable sets are well-controlled (in particular, all definable by 
  formulas with only a few quantifiers\footnote{
  We consider e.g. $\exists x,y\.$ as one quantifier rather than two.}),
  they often have decidable theories,
  and sometimes the models of the theory being classifiable up to 
  isomorphism.}
  {Es ist jedoch ein verwunderlicher Fakt, dass viele Strukturen, die wichtig 
  in der Mathematik sind, diese Gödelschen Phänomene vermeiden und ``zahm'' 
  sind.
  Ihre definierbaren Mengen sind kontrolliert (insbesondere sind alle durch 
  Formeln mit wenigen Quantoren definierbar\footnote{
  Wir betrachten z.B. $\exists x,y\.$ wie einen Quantor statt zwei.}),
  ihre Theorien sind oft entscheidbar
  und manchmal sind die Modelle ihrer Theorien bis auf Isomorphie 
  klassifizierbar.}

  \<Examples include|Beispiele>:
  ***) $(\C;+,\cdot)$, $(\F_p^{\"alg};+,\cdot)$, $(\R;+,\cdot)$, 
  $(\Q_p;+,\cdot)$;
  %** \<Linear algebraic groups|Lineare algebraische Gruppen>
  %\<such as|wie>
  %$(\"SO_n(\R);\cdot)$, $(\"SL_n(\R))$, $(\"SL_n(\C);\cdot)$;
  ** $(\Q;<)$;
  ** \<Vector spaces|Vektorräume>;
  ** $(\|N;+)$, $(\|N;+,<)$, $(\|N;\cdot)$
  (\<but not|aber nicht> $(\|N;\cdot,<)$!);
  % (due to Tarski: addition is definable using
  % ((x+y)^2(xy+1))+1 = ((x+y)x+1)*((x+y)y+1)
  ** $(\R;+,\cdot,x |-> e^x)$;
  ** $(\C;+,\cdot,x |-> x^\zeta)$ (\<for most|für die meisten> $\zeta (- 
  \C$);
  ** \<Compact Lie groups|Kompakte Lie-Gruppen> \<e.g.|z.B.> $(\"SO_3(\R);*)$;
  ** $(\F_{p^*};+,\cdot)$
  \bi{for an ``infinite'' (pseudofinite) prime}
  {für eine ``unendliche'' (pseudoendliche) Primzahl} $p^*$;
  ** \bi{Compact complex manifolds (complex tori, Calabi-Yau manifolds, etc)}
  {Kompakte komplexe Mannigfaltkeiten (komplexe Tori, Calabi-Yau 
  Mannigfaltkeiten, usw.)};
  ** \bi{Differential and difference equations (in a certain sense)}
  {Differenziellgleichungen und differenzgleichungen (in einem gewissen 
  Sinn)};
  %** \<Free groups|Freie Gruppen> $(F_n;*)$.
  *e)*

  \bi{We will examine only a fraction of this richness in this course, but we 
  will develop tools with wide applicability.}
  {Wir betrachten in diesem Kurs nur einen Bruchteil dieses Reichtums,
  aber wir entwickeln Werkzeuge mit breiter Anwendbarkeit.}

** \bi{We often study a structure by considering other models of its theory.}
  {Wir studieren oft eine Struktur durch die Betrachtung anderer Modelle ihrer 
  Theorie.}
  \bi{In particular, ``tameness'' of the class of models often corresponds to 
  ``tameness'' of the definable sets.}
  {Insbesondere entspricht eine ``Zahmheit'' der Klasse von Modellen einer 
  Theorie oft einer ``Zahmheit'' der definierbaren Mengen.}
  \bi{We will examine in detail the following strong form of this 
  correspondence.}
  {Wir untersuchen in diesem Kurs die folgende starke Version dieser 
  Korrespondenz.}

  \bi{A theory $T$ is \defn{$\kappa$-categorical} if it has a unique model of 
  cardality $\kappa$.}
  {Eine Theorie $T$ ist \defn{$\kappa$-kategorisch}, wenn sie ein bis auf 
  Isomorphie eindeutig bestimmtes Modell der Mächtigkeit $\kappa$ hat.}
  <|Let|> $\M$ \<be an infinite|eine unendliche> <|structure|> in \<a 
  countable language|einer abzählbaren Sprache>.

  ***) \underline{Ryll-Nardzewski}:
  $\Th(\M)$ <|is|> $\aleph_0$-\<categorical|kategorisch> \bi{iff for each $n 
  (- \omega$ there are only finitely many $\L$-definable subsets of $\M^n$.}
  {genau dann, wenn es für jedes $n (- \omega$ nur endliche viele 
  $\L$-definierbare Teilmengen von $\M^n$ gibt.}

  ** \underline{Baldwin-Lachlan}:
  \<for an uncountable cardinal $\kappa$,
  |Für eine überabzählbare Kardinalzahl $\kappa$>
  \<$\Th(\M)$ is|ist $\Th(\M)$> $\kappa$-\<categorical|kategorisch>
  \bi{iff $\M$ is prime and minimal over a strongly minimal set defined over 
  the prime model.}
  {genau dann, wenn $\M$ prim und minimal über einer streng minimalen Menge, 
  die über dem Primmodell definiert ist, ist.}

  (\bi{We'll define these terms later; a strongly minimal set is a 
  particularly straightforward structure, and being prime and minimal over it 
  implies that the definable sets of $\M$ are ``constructed'' from its 
  definable sets in a certain sense}
  {Wir definieren diese Begriffe später. Eine streng minimale Menge ist eine 
  besonders einfache Struktur, und wenn $\M$ prim und minimal über ihr ist, 
  sind die definierbaren Mengen von $\M$ ``konstruiert'' (in einem gewissen 
  Sinn) durch die definierbaren Mengen von der streng minimalen Menge}.)
  *e)*
*e)*

# \<Preliminaries|Grundbegriffe>

\bi{
We work in $\ZFC$ throughout the course.
}{
In diesem Kurs arbeiten wir in $\ZFC$.
}
\<A set $A$ is /countable/ if|Eine Menge $A$ ist /abzählbar/, wenn> $|A| <= 
\aleph_0$.

## \<Syntax and structure|Syntax und Struktur>

% General remark: since we're not concerned with Gödel coding etc, we do not 
% have to be quite as lawyerly as in Logik I
***)
\bi{
A (first-order) (1-sorted) #language# is a set $\L$ of relation symbols, 
function symbols, and constants.
}{
Eine (ein-sortige) #Sprache# (erster Stufe) ist eine Menge $\L$ von 
Relationszeichen, Funktionszeichen und Konstanten.
}

**
\bi{An \defn{$\L$-structure}}
{Eine \defn{$\L$-Struktur}}
$\M = (M;(R^\M)_R, (f^\M)_f, (c^\M)_c)$
\bi{is a non-empty set $M$ equipped with interpretations of the symbols of 
$\L$}
{ist eine nicht-leere Menge $M$ mit Interpretationen der Zeichen von $\L$}:
***)$R^\M (= \M^n$
\bi{for $R (- \L$ an $n$-ary relation symbol}
{für ein $n$-st Relationszeichen $R (- \L$};
** $f^\M : \M^n --> \M$
\bi{for $f (- \L$ an $n$-ary function symbol}
{für ein $n$-st Funktionszeichen $f (- \L$};
** $c^\M (- \M$
\bi{for $c (- \L$ a constant}
{für eine Konstante $c (- \L$}.
*e)*

\bi{Often, we write $\M$ to refer to the underlying set $M$.}
{Oft bezeichnen wir auch die Grundmenge $M$ als $\M$.}

\<We sometimes consider constants as 0-ary functions.
|Manchmal betrachten wir Konstanten als 0-st Funktionszeichen.>

**
\bi{
An \defn{$\L$-term} is
a variable, a constant, or $\qt{f(t_1,...,t_n)}$ where $t_i$ are $\L$-terms 
and $f$ is an $n$-ary function symbol.
}{
Ein \defn{$\L$-Term} ist eine Variable, eine Konstante, oder 
$\qt{f(t_1,...,t_n)}$, wobei $t_i$ $\L$-Terme und $f$ ein $n$-st 
Funktionszeichen sind.
}

**
\bi{An \defn{atomic $\L$-formula} is}
{Eine \defn{atomare $\L$-Formel} ist}
$\qt{t_1 .= t_2}$ <|or|> $\qt{R(t_1,...,t_n)}$ <|or|> $\tee$,
\bi{where $t_i$ are $\L$-terms and $R$ is an $n$-ary relation symbol}
{wobei $t_i$ $\L$-Terme und $R$ ein $n$-st Relationszeichen sind}.
\<Here|Dabei ist> $\tee$ \<is the {\it always true} sentence;
|die {\it immer wahre Aussage};>
$\M |= \tee$ \<for any structure|für jede Struktur> $\M$.

**
\bi{
An \defn{$\L$-formula} is an atomic $\L$-formula or
$\qt{\neg \phi}$ or $\qt{(\phi /\ \phi')}$ or $\qt{\exists x\. \phi}$ where 
$\phi,\phi'$ are $\L$-formulas and $x$ is a variable.
}{
Eine \defn{$\L$-Formel} ist eine atomare $\L$-Formel oder
$\qt{\neg \phi}$ oder $\qt{(\phi /\ \phi')}$ oder $\qt{\exists x\. \phi}$,
wobei $\phi,\phi'$ $\L$-Formeln und $x$ eine Variable sind.
}

**
\bi{
An \defn{$\L$-sentence} is an $\L$-formula with no free variables.
}{
Ein \defn{$\L$-Aussage} ist eine $\L$-Formel, die keine freien Variablen hat.
}
\bi{
For $\M$ an $\L$-structure and $\sg$ an $\L$-sentence,
$\M |= \sg$ is defined recursively.
}{
Für eine $\L$-Struktur $\M$ und ein $\L$-Aussage $\sg$ ist $\M |= \sg$ 
rekursiv definiert.
}

**
\<Abbreviations|Abkürzungen>:\
\qt{*\[a* (\phi \/ \psi)} & |--> \qt{\neg (\neg \phi /\ \neg \psi)} \\\
\qt{(\phi --> \psi)}      & |--> \qt{(\neg \phi \/ \psi)} \\\
\qt{(\phi <--> \psi)}     & |--> \qt{((\phi --> \psi) /\ (\psi --> \phi))} \\\
\qt{\forall x\. \phi}     & |--> \qt{\neg \exists x\. \neg \phi} \\\
\qt{x ./= y}              & |--> \qt{\neg x .= y} \\\
\qt{\eet}                 & |--> \qt{\neg\tee} \\\
*a\]*

** \<We also define abbreviations for conjunctions and disjunctions of finite 
sets of formulas
|Wir definieren auch Abkürzungen für Konjunktionen und Disjunktionen von 
endlichen Mengen von Formeln>:
*\[a* //\\ {} &:= \tee \\\
//\\ (\Phi \cup \{\phi\}) &:= ({ //\\ \Phi /\ \phi }) \\\
\\// {} &:= \eet \\\
\\// (\Phi \cup \{\phi\}) &:= ({ \\// \Phi \/ \phi }) .*a\]*

**
\bi{
If $\L' )= \L$ and $\M$ is an $\L'$-structure, we write $\M|_\L$ for the 
corresponding $\L$-structure,
and call
$\M|_\L$ the #reduct# of $\M$ to $\L$,
and $\M$ an #expansion# of $\M|_\L$ to $\L'$.
}{
Wenn $\L' )= \L$ und $\M$ eine $\L'$-Struktur ist, ist $\M|_\L$ die 
entsprechende $\L$-Struktur.
% "|_" is pronounced "eingeschränkt auf"
Dann ist
$\M|_\L$ das \defn{Redukt} von $\M$ zu $\L$, und
$\M$ eine #Expansion# von $\M|_\L$ zu $\L'$.
}

**
\bi{If $\M$ is an $\L$-structure and $A (= \M$, the \defn{expansion by 
constants for $A$} is the expansion $\M_A$ of $\M$ to}
{Wenn $\M$ eine $\L$-Struktur ist und $A (= \M$, ist die \defn{Expansion durch 
Konstanten für $A$} die Expansion $\M_A$ von $\M$ zu}
$\L(A) := \L \dotcup A$
\<defined by|definiert durch>
$a^{\M_A} := a$.

** \<We write a tuple|Wir schreiben ein Tupel> $(a_1,a_2,...,a_n)$ $(n>=0)$ 
\<as|als> $\a$,
\<and we write|und wir schreiben> $|\a|$ \<for its length|für seine Länge>, 
$|\a| = n$.
\<For $A$ a set,|Für eine Menge $A$>
\<we define|setzen wir> $A^{<\omega} := \bigcup_{n (- \omega} A^n$,
\<the set of tuples from $A$|die Menge aller Tupel von $A$.>

** \<We write an $\L$-formula $\phi$ as $\phi(\x)$ if $\x$ is a tuple of 
distinct variables and the free variables of $\phi$ are among
|Wir schreiben eine $\L$-Formel $\phi$ als $\phi(\x)$, wenn $\x$ ein Tupel von 
verschiedenen Variablen ist und die freie Variablen von $\phi$ unter>
$x_1,...,x_{|\x|}$\<| sind>.
\<Then if $\M$ is an $\L$-structure and $\a (- \M^{|\x|}$,
|Falls $\M$ eine $\L$-Struktur ist und $\a (- \M^{|\x|}$,>
\<we write|ist> $\phi(\a)$ \<for the|die> $\L(\M)$-<|sentence|>\< obtained by 
substituting $a_i$ for $x_i$ (for
|, in der $x_i$ durch $a_i$ ersetzt (>$i=1,...,|\x|$\<).|) werden.>
<|Then|> \<|bedeutet> $\M |= \phi(\a)$\< means|, dass> $\M_\M |= \phi(\a)$.

\<Then the set \defn{defined by} $\phi(\x)$ in $\M$ is
|Dann ist die Menge \defn{definiert durch} $\phi(\x)$ in $\M$>
$$\phi(\M) := \{ \a (- \M^{|\x|} : \M |= \phi(\a) \} (= \M^{|\x|} .$$
\<(Technically, this depends on the choice of tuple $\x$ and not just on 
$\phi$).
|(Eigentlich hängt dies von der Wahl vom Tupel $\x$ sowie von $\phi$ ab.)>

\bi{Similarly, if $\phi(\x,\y)$ is an $\L$-formula and $\a (- \M^{|\x|}$,
we write $\phi(\a,\y)$ for the $\L(\M)$-formula obtained by substituting $a_i$ 
for $x_i$.}
{Ähnlich wenn $\phi(\x,\y)$ eine $\L$-Formel ist und $\a (- \M^{|\x|}$,
schreiben wir $\phi(\a,\y)$ für die $\L(\M)$-Formel, in der $x_i$ durch $a_i$ 
ersetzt werden.}

**
\bi{
A \defn{partial isomorphism} of $\L$-structures is a partial function
$\th : \M \dasharrow \N$ such that
for any atomic $\L$-formula $\phi(\x)$ and any $\a (- \dom{\th}^{|\x|}$,
$\M |= \phi(\a)$ iff $\N |= \phi(\th(\a))$.}{
Ein \defn{partieller Isomorphismus} von $\L$-Strukturen
ist eine partielle Funktion
$\th : \M \dasharrow \N$, sodass
für jede atomare $\L$-Formel $\phi(\x)$ und alle $\a (- \dom{\th}^{|x|}$
\[ \M |= \phi(\a) <==> \N |= \phi(\th(\a)) .\]
}\bi{
If this holds for \emph{any} $\L$-formula $\phi$, we call $\th$ a 
\defn{partial elementary map}.
}{
Wenn dies für \emph{jede} $\L$-Formel $\phi$ gilt, heißt $\th$ eine 
\defn{partielle elementare Abbildung}.
}

**
\bi{An #embedding# is a \emph{total} partial isomorphism}
{Ein \emph{totaler} partieller Isomorphismus $\th$ heißt #Einbettung#}
$\th : \M (--> \N$.

**
\bi{An #elementary# #embedding# is a \emph{total} partial elementary map}
{Eine \emph{totale} partielle elementare Abbildung $\th$ heißt #elementare# 
#Einbettung#}
$\th : \M (-~<-> \N$.

**
\bi{An #isomorphism# is a \emph{surjective} embedding}
{Eine \emph{surjektive} Einbettung heißt #Isomorphismus#}
$\th : \M -~=-> \N$.

**
\bi{
A #substructure# (resp. \defn{elementary substructure}), of an $\L$-structure 
$\N$ is an $\L$-structure $\M$ on a subset of $\N$ such that the inclusion 
$\iota : \M --> \N$ is an embedding (resp. an elementary embedding)}
{Eine #Unterstruktur# (bzw. \defn{elementare Unterstruktur}) einer 
$\L$-Struktur $\N$ ist eine $\L$-Struktur $\M$ auf eine Teilmenge von $\N$, 
sodass die Inklusion eine Einbettung (bzw. elementare Einbettung) ist}.

\<\underline{Convention}: If $\L$ has no constants, we also allow the ``empty 
structure'' ${}$ as an $\L$-substructure of any $\L$-structure (even though 
${}$ is not an $\L$-structure!|\underline{Konvention}: Wenn $\L$ keine 
Konstanten hat, erlauben wir auch die ``leere Struktur'' ${}$ als eine 
$\L$-Unterstruktur jeder $\L$-Struktur (obwohl ${}$ keine $\L$-Struktur 
ist!>\footnote{
\<In many ways it would be preferable to allow the empty structure to be a 
structure, and some authors do this.
|In mancherlei Hinsicht ist es besser, die leere Struktur als Struktur zu 
erlauben. Einige Autoren tun dies.>}).

**
\<We write|Wir schreiben> $\M <= \N$
\<for a substructure|für eine Unterstruktur>\footnote{
\<Many authors write|Viele Autoren schreiben> $\M (= \N$
\<for the substructure relation|für die Unterstruktur Relation>.},
<|and|> $\M ~< \N$
\<for an elementary substructure|für eine elementare Unterstruktur>.

**
<|If|> $A (= \M$ \<is a subset of an
|eine Teilmenge einer>
$\L$-<|structure|> $\M$\<| ist>,
<|let|> $$<{ A }>^\M_\L := \bigcap \{ \B : A (= \B <= \M \} <= \M$$
\<be the $\L$-substructure generated by $A$.
|die $\L$-Unterstruktur, die von $A$ erzeugt ist.>

\<Note: when $\L$ has no constant symbols,
|Bemerkung: Wenn $\L$ keine Konstante hat,>
$<{ {} }>^\M_\L = {}$.

Lemma{substGenCard}:
  $|<{ A }>^\M_\L| <= \max(|A|,|\L|,\aleph_0)$.
  .
Proof:
  <|Let|> $A_0 := A$
  <|and|>, \<considering constants as 0-ary functions,
  |mit Konstanten als 0-st Funktionszeichen betrachtet,>
  $$A_{i+1} := A_i \cup \{ f^\M(\a) : f (- \L \textrm{ \<an $n$-ary function 
  symbol|ein $n$-st Funktionszeichen>},\; \a (- A_i^n,\; n>=0 \} .$$
  \<Then|Dann ist>
  $<{ A }>^\M_\L = \bigcup_{i (- \omega} A_i$,
  <|and|> $|A_{i+1}| <= |A_i| + |\L|\cdot\max(|A|,\aleph_0) <= 
  \max(|A_i|,|\L|,\aleph_0)$.
  <|Hence|> $|A_i| <= \max(|A|,|\L|,\aleph_0)$
  \<for all|für alle> $i$.
  <|So|> $|\bigcup_i A_i| <= \max(|A|,|\L|,\aleph_0)$.
  .

** \<We can always make an embedding into an inclusion by applying an 
isomorphism:
|Wir können immer eine Einbettung zu einer Inklusion durch die Anwendung eines 
Isomorphismus verwandeln:>
Lemma{embedInc}:
  \<Suppose|Sei> $\th : \A (--> \B$ \<is an embedding of|eine Einbettung von> 
  $\L$-<|structures|>.
  \<Then there is an isomorphism|Dann gibt es einen Isomorphismus>
  $\sigma : \B --> \B'$\< such that|, sodass> $\A <= \B'$ <|and|> $\sigma 
  \circ \th = \id_\A$.
  .
Proof:
  \<First, let|Zuerst sei> $\sigma : \B --> B'$ \<be a bijection with a 
  set|eine Bijektion mit eine Menge> $B' )= \A$ \<such that|mit> $\sigma \circ 
  \th = \id_\A$.
  <|Let|> $\B'$ \<be the|die> $\L$-<|structure|> \<on|auf> $B'$\< such that|, 
  für die> $\sigma$ \<is an isomorphism|ein Isomorphismus ist>.
  \<Then|Dann ist> $\id_\A = \sigma \circ \th$ \<an embedding|eine 
  Einbettung>,
  \<so|also gilt> $\A <= \B'$.
  .
*e)*

## \<Theories|Theorien>

***) \bi
{An \defn{$\L$-theory} is a set of $\L$-sentences.}
{Eine \defn{$\L$-Theorie} ist eine Menge von $\L$-Aussagen.}

** \bi
{The \defn{theory} of an $\L$-structure $\M$ is}
{Die #Theorie# einer $\L$-Struktur $\M$ ist}
\[ \Th(\M) := \{ \sg : \M |= \sg,\; \sg
\text{ \<is an $\L$-sentence|ein $\L$-Aussage ist>} \} .\]

** \bi
{An $\L$-structure $\M$ is a #model# of an $\L$-theory $T$,}
{Eine $\L$-Struktur $\M$ ist ein #Modell# einer $\L$-Theorie $T$,}
\[ \M |= T ,\]
\<if|wenn> $\M |= \sg$ \<for all|für alle> $\sg (- T$.

**
$T |= \sg$ \<means|bedeutet>: $\M |= \sg$ \<for any|für jedes> $\M |= T$.
\<We also write|Wir schreiben auch> $T |- \sg$.

$T |= T'$ <|or|> $T |- T'$ \<means|bedeutet>: $T |= \sigma$ \<for all|für 
alle> $\sigma (- T'$.

$T |=_{T''} T'$ <|or|> $T |-_{T''} T'$ \<means|bedeutet>: $T \cup T'' |= T'$.

** \bi
{$T$ is #consistent# if it has a model.}
{$T$ heißt #konsistent#, wenn sie ein Modell hat.}

Remark|Bemerkung:
  \bi{$T$ is consistent iff}
  {$T$ ist konsistent gdw}
  $T |/= \eet$.
  .

** \bi{A consistent $\L$-theory $T$ is #complete# if for any $\L$-sentence 
$\sg$}
{Eine konsistente $\L$-Theorie $T$ heißt #vollständig#, wenn für alle 
$\L$-Aussagen $\sg$}
\[ T |= \sg \text{\; <|or|> \;} T |= \neg \sg .\]

** \bi{
$\L$-structures $\M,\N$ are \defn{elementarily equivalent}}
{$\L$-Strukturen $\M,\N$ heißen \defn{elementar äquivalent}},
$\M == \N$, \<if|wenn> $\Th(\M)=\Th(\N)$.

Remark|Bemerkung:
  \<A consistent theory|Eine konsistente Theorie> $T$ \<is complete iff|ist 
  genau dann vollständig, wenn>
  $\M == \N$ \<whenever|für jede> $\M,\N |= T$.
  .

Remark|Bemerkung:
  \bi{If $A$ is a common subset of $\L$-structures $\M$ and $\N$}
  {Wenn $A$ eine gemeinsame Teilmenge von $\L$-Strukturen $\M$ und $\N$ ist},
  \<then|ist>
  $\id_A : \M \dasharrow \N$
  \<is partial elementary iff|partiell elementar gdw>
  $\M_A == \N_A$.

  %In particular, the empty map $\M \dasharrow \N$ is partial elementary 
  %iff $\M == \N$.

  \<In particular|Insbesondere>, \<if|wenn> $\M (= \N$, \<we have|gilt> $\M ~< 
  \N$ <|iff|> $\M_\M == \N_\M$.

  \<The|Die> $\L_\M$-<|theory|> $\Th(\M_\M)$ \<is called the \defn{elementary 
  diagram} of|heißt das \defn{elementare Diagramm} von> $\M$.
  .

*e)*

# \<Ultraproducts|Ultraprodukte>
\<Let $I$ be a set|Sei $I$ eine Menge>.
\<A non-empty set|Eine nicht-leere Menge> $\calB (= \pow(I)$
\<is a \defn{filter base} if|heißt \defn{Filterbasis}, wenn>
***) $X,Y (- \calB ==> \exists Z (- \calB\. X \cap Y )= Z$;
** ${} (/- \calB$.
*e)*

\<A maximal filter base|Eine maximale Filterbasis> $\U$
\<is an #ultrafilter#; equivalently:
|heißt #Ultrafilter#. Dazu äquivalent,>
$\U$ \<is a filter base, and|ist eine Filterbasis, und>
\<for any|für alle> $X (= I$ \<we have|gilt>
\[ X (- \U \text{ \;<|or|>\; } I \\ X (- \U .\]
\bi{As an immediate consequence of Zorn's Lemma, we have}
{Als direkte Folgerung aus dem Zornschen Lemma, haben wir}
Fact|Fakt{ufEx}:
  \<Any filter base|Jede Filterbasis> $\calB (= \pow(I)$
  \<extends to an ultrafilter|lässt sich zu einem Ultrafilter>
  $\calB (= \U (= \pow(I)$
  \<|erweitern>.
  .

Remark|Bemerkung:
  \bi{Fact~{ufEx} is not a theorem of $\"ZF$, and
  it is strictly weaker than the axiom of choice modulo $\"ZF$.}
  {Fakt~{ufEx} ist kein Satz von $\"ZF$.
  Es ist echt schwächer als das Auswahlaxiom modulo $\"ZF$.}
  .

Remark|Bemerkung:
  \bi{Ultrafilters are \emph{upwards-closed}}
  {Ultrafilter sind \emph{aufwärts geschlossen}}:
  \<if|wenn> $X (= Y$\< then|, gilt> $X (- \U ==> Y (- \U$.
  \bi{An upwards-closed filter base is a \emph{filter}}
  {Eine Filterbasis, die aufwärts geschlossen ist, heißt \emph{Filter}}.
  .

<|If|> $\U (= \pow(I)$ \<is an ultrafilter|ein Ultrafilter ist>
<|and|> $a_i$ \<are elements of sets|Elemente von Mengen> $A_i$
($i (- I$)\<| sind>,
\<the #ultralimit# is|ist der #Ultralimes#> $\lim_{i --> \U} a_i$
\<the equivalence class|die Äquivalenzklasse> $(a_i)_i / \sim^\U$
\<of the sequence|von der Sequenz>
$(a_i)_i$ \<under the equivalence relation|bezüglich der Äquivalenzrelation>
$$(a_i)_i \sim^\U (a'_i)_i \textrm{ \;<|iff|>\; } \{ i : a_i = a'_i \} (- 
\U.$$
<|If|> $A_i$ \<are sets|Mengen sind>,
\bi{the #ultraproduct# is the set of all ultralimits}
{ist das #Ultraprodukt# die Menge aller Ultralimiten},
\[ \prod_{i --> \U} A_i :=
\quot{ \prod_{i (- I} A_i }{ \sim^\U }
= \{{ \lim_{i --> \U} a_i : a_i (- A_i }\} .\]

\<We have|Wir haben>
$\lim_{i-->\U} (a_i,b_i) = (\lim_{i-->\U} a_i, \lim_{i-->\U} b_i)$.

% Note: if we consider sets as discrete metric spaces, this agrees with the 
% notion of a metric space ultralimit.

\<For functions|Für Funktionen>
$f_i : A_i --> B_i$ \<we define|definieren wir>
\[\lim_{i --> \U} f_i : \prod_{i-->\U} A_i --> \prod_{i-->\U} B_i\]
\<by|durch>
\[ (\lim_{i --> \U} f_i)(\lim_{i-->\U} a_i) := \lim_{i-->\U} f_i(a_i) .\]

% (equivalently, the graph is the ultraproduct of the graphs; but that follows 
% from Los, so no need to say it)

<|If|> $(\M_i : i (- I)$
\<are $\L$-structures|$\L$-Strukturen sind>,
\<the #ultraproduct#|ist das #Ultraprodukt#>
$\M = \prod_{i --> \U} \M_i$
\<is the $\L$-structure such that|die $\L$-Struktur sodass>
***) \<as sets,|> $\M := \prod_{i-->\U} \M_i$\<| als Mengen>;
** $\M |= R(\lim_{i-->\U} \a_i) \;<==>\; \{ i : \M_i |= R(\a_i) \} (- \U$
(<|for|> $R (- \L$ \<a relation symbol|ein Relationszeichen>);
** $f^{\M} := \lim_{i-->\U} f^{M_i}$
(<|for|> $f (- \L$ \<a function symbol|ein Funktionszeichen>);
** $c^{\M} := \lim_{i-->\U} c^{M_i}$
(<|for|> $c (- \L$ \<a constant symbol|eine Konstante>).
*e)*

Theorem|Satz[\Los]:
  \<For $\L$-structures|Für $\L$-Strukturen> $\M_i$,
  \<an $\L$-formula|eine $\L$-Formel> $\phi(\x)$,
  <|and|> $\a_i (- \M_i$,
  \[
  \prod_{i-->\U} M_i |= \phi(\lim_{i-->\U} \a_i) \text{ \;<|iff|>\; }
  \{ i : M_i |= \phi(\a_i) \} (- \U .\]
  .
Proof:
  \<Exercise|ÜA>.
  .

\<An ultrafilter|Ein Ultrafilter> $\U$
\<is #principal# if there is|heißt #Hauptultrafilter#, wenn es>
$i_0 (- I$ \<such that|gibt, sodass> $\U = \{ X (= I : i_0 (- X \}$.
\<Then|Dann> $\prod_{i --> \U} \M_i ~= \M_{i_0}$.

Example|Beispiel:
  <|Let|> $\U (= \pow(P)$
  \<be a non-principal ultrafilter on the set
  |ein Ultrafilter, der kein Hauptultrafilter ist, auf der Menge>
  $P (= \|N$ \<of primes|von Primzahlen.>
  \<Then the ultraproduct of finite fields
  |Dann ist das Ultraprodukt von endlichen Körpern>
  $\prod_{p --> \U} (\|F_p;+,\cdot)$
  \<is a field of characteristic 0
  |ein Körper mit Charakteristik 0>
  (\<a ``pseudofinite field''|ein ``pseudo-endlicher Körper''>).
  .

<|If|> $\U (= \pow(I)$ \<is an ultrafilter|ein Ultrafilter ist,>
<|and|> $\M$ \<is an $\L$-structure|eine $\L$-Struktur ist>,
\<the #ultrapower# is defined as|ist die #Ultrapotenz#> $\M^\U := 
\prod_{i-->\U} \M$.

Lemma:
  \<With respect to the|In Bezug auf die>
  \defn{\<diagonal embedding|diagonale Einbettung>}
  $a |-> \lim_{i --> \U} a$\<,|>
  \<|ist> $\M$
  \<is an elementary substructure|eine elementare Unterstruktur>,
  $\M ~< \M^\U$.
  .
Proof:
  \<Exercise|ÜA>.
  .

Example|Beispiel:
  <|Let|> $\U (= \pow(\omega)$ \<be a non-principal ultrafilter.
  |ein Ultrafilter, der kein Hauptultrafilter ist.>
  <|Let|> $(\R^*;+,\cdot) := (\R;+,\cdot)^\U$
  (\<a ``non-standard real field''
  |ein ``nicht-standarder Reeller Körper''>).
  <|Let|> $$\epsilon := \lim_{n --> \U} \frac1{n+1} (- \R^* .$$
  <|Then|> $0 < \epsilon < r$ \<for all|für jedes> $r (- \R (= \R^*$.
  .

# \<Compactness|Kompaktheit>

Theorem|Satz[\<Compactness|Kompaktheit>]:
  \bi
  {Suppose every finite subset of an $\L$-theory $T$ is consistent.
  Then $T$ is consistent.}
  {Wenn jede endliche Teilmenge einer $\L$-Theorie $T$ konsistent ist,
  ist $T$ konsistent.}
  .
Proof:
  <|Let|> $\powfin(T) := \{ T' (- \pow(T): |T'| < \aleph_0 \}$
  \<be the set of finite subsets of $T$.
  |die Menge von endlichen Teilmengen von $T$.>
  \<Say|Sei> $\M_{T'} |= T'$ <|for|> $T' (- \powfin(T)$.

  <|For|> $T' (- \powfin(T)$, <|let|> $[T'] = \{ T'' (- \powfin(T): T' (= T'' 
  \} (= \powfin(T)$.
  <|Let|> $\calB = \{ [T'] : T' (- \powfin(T) \} (= \pow(\powfin(T))$.
  \<Then|Dann ist> $\calB$ \<is a filter base|eine Filterbasis>,
  <|since|>  $[T'] \cap [T''] = [T' \cup T'']$,
  <|and|> $[T'] /= {}$ \<since|weil> $T' (- [T']$,
  <|and|> $\calB /= {}$ \<since|da> $[ {} ] (- \calB$.
  \<By|Nach> \<Fact~{ufEx}|Fakt~{ufEx}>, <|let|> $\U )= \calB$ \<be an 
  ultrafilter on|ein Ultrafilter auf> $\powfin(T)$.

  <|Let|> $\M = \prod_{T' --> \U} \M_{T'}$.

  <|Then|> \<|gilt> <|for|> $\sg (- T$\<,|>
  $$\{ T' : \M_{T'} |= \sg \} )= \{ T' : \sg (- T' \} = [\{\sg\}] (- \U ,$$
  \<so by|und nach> \Los, $\M |= \sg$.

  \<So|Dann> $\M |= T$, \<so|und damit ist> $T$ \<is consistent|konsistent>.
  .

  Lemma{separation}[\<Separation|Trennungslemma>]:
  \<Let|Seien> $T_1$ <|and|> $T_2$ \<be consistent|konsistente> 
  $\L$-<|theories|>,
  <|and|> $\Sg$ \<a set of|eine Menge von> $\L$-<|sentences|>\< closed under|, 
  die unter> $\wedge$ <|and|> $\vee$\<| abgeschlossen ist>.
  \<Then TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i) \<Given|Wenn> $\M_1 |= T_1$ <|and|> $\M_2 |= T_2$,
  \<there exists|gibt es> $\sg (- \Sg$\< with|, sodass>
  $\M_1 |= \sg$ <|and|> $\M_2 |= \neg\sg$.
  **(ii)
  \<There exists|Es gibt> $\sg (- \Sg$ <|with|>
  $T_1 |= \sg$ <|and|> $T_2 |= \neg\sg$.
  *ee*
  \<We then say $\Sg$ #separates# $T_1$ from $T_2$.
  |Wir sagen dann, dass $\Sg$ $T_1$ von $T_2$ #trennt#.>
  .
Proof:--
  ***)[(i) $<==$ (ii):]
  <|Clear|>.
  **[(i) $==>$ (ii):]
  % same idea as the proof that a Hausdorff compact topological space is 
  % normal, but not actually a consquence.
  <|Let|> $\M_1 |= T_1$.
  <|For|> $\M_2 |= T_2$ \<there is by (i)|gibt es nach (i)> $\sg_{\M_2} (- 
  \Sg$ <|with|>
  $\M_1 |= \sg_{\M_2}$ <|and|> $\M_2 |= \neg\sg_{\M_2}$.
  \<Then|Dann ist> $T_2 \cup \{ \sg_{\M_2} : \M_2 |= T_2 \}$ \<is 
  inconsistent|inkonsistent>\<,
  so by compactness
  |. Daher folgt aus dem Kompaktheitssatz,>
  \<there is a finite conjunction
  |dass es eine endliche Konjunktion>
  $\sg_{\M_1}$ \<of the|von der> $\sg_{\M_2}$\<, such that| gibt, sodass> $T_2 
  |= \neg\sg_{\M_1}$.
  <|Then|> $\sg_{\M_1} (- \Sg$ \<by closedness of $\Sg$ under $\wedge$,
  |weil $\Sg$ unter $\wedge$ abgeschlossen ist,>
  <|and|> $\M_1 |= \sg_{\M_1}$.

  \<Now|Nun ist> $T_1 \cup \{ \neg\sg_{\M_1} : \M_1 |= T_1 \}$ \<is 
  inconsistent|inkonsistent>\<,
  so by compactness and closedness of $\Sg$ under $\vee$,
  |. Daher folgt es aus dem Kompaktheitssatz und dem Fakt, dass $\Sg$ unter 
  $\vee$ abgeschlossen ist,>
  \<there is a finite disjunction
  |dass es eine endliche Disjunktion>
  $\sg (- \Sg$ \<of the|von der> $\sg_{\M_1}$\<, such that| gibt, sodass> $T_1 
  |= \sg$.
  <|Then|> $T_2 |= \neg\sg$.
  *e)*
  .

# \<Quantifier elimination|Quantorenelimination>

## \<Definitions|Definitionen>

Definition:
  \<A formula is \defn{quantifier free} (\defn{qf}) if it contains no 
  quantifiers.
  |Eine Formel ist \defn{quantorenfrei} (\defn{qf}), wenn sie keinen Quantor 
  enthält.>
  .

Definition:
  $\L$-<|formulas|> $\phi(\x)$ <|and|> $\psi(\x)$
  \<are \defn{equivalent modulo} an $\L$-theory $T$,
  |sind \defn{äquivalent modulo} einer $\L$-Theorie $T$,>
  \<written|geschrieben> $\phi(\x) <-->_T \psi(\x)$,
  <|if|> $$ T |= \forall \x\. (\phi(\x) <--> \psi(\x)) .$$

  \<Similarly|Ähnlich>, $\phi(\x) -->_T \psi(\x)$
  <|if|> $ T |= \forall \x\. (\phi(\x) --> \psi(\x))$.

  (\<As always, we allow here the case
  |Wie immer erlauben wir hier den Fall> $|\x| = 0$,
  \<i.e. the case that $\phi$ and $\psi$ are sentences.)
  |d.h. den Fall, dass $\phi$ und $\psi$ Aussagen sind.)>
  .

Definition:
  \<An $\L$-theory $T$ has \defn{quantifier elimination} (\defn{QE}) if
  any $\L$-formula $\phi(\x)$ is equivalent modulo $T$ to a quantifier free 
  formula $\psi(\x)$.
  |Eine $\L$-Theorie $T$ besitzt \defn{Quantorenelimination} (\defn{QE}),
  wenn jede $\L$-Formel $\phi(\x)$ äquivalent modulo $T$ zu einer 
  quantorenfreien Formel $\psi(\x)$ ist.>

  \<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$ \<has|besitzt> QE\< if|, wenn> $\Th(\M)$ 
  \<has QE|QE besitzt>.
  .
## \<Discussion|Diskussion>

Remark|Bemerkung:
  \<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$ \<has QE iff|besitzt QE genau dann, wenn> 
  \<every $\L$-definable set is defined by a qf $\L$-formula|jede 
  $\L$-definierbare Menge durch eine qf $\L$-Formel definiert ist>.
  .

Example|Beispiel:
  $(\R;+,-,\cdot,0,1)$ \<does not have QE|besitzt nicht QE>:
  \<The order|Die Ordnung> $x<y$ \<is definable by|ist durch>
  $\exists z\. (z ./= 0 /\ x+z\cdot z = y)$
  \<but not by any qf formula|definierbar, aber sie ist durch keine qf Formel 
  definierbar>.
  .

Remark|Bemerkung{emptyLangQEComp}:
  <|If|> $\L$ \<has no constants|keine Konstanten hat>,
  \<then the only qf sentences up to equivalence are $\tee$ and $\eet$.
  |sind die einzigen qf Aussagen bis auf Äquivalenz $\tee$ und $\eet$.>
  \<So any consistent $\L$-theory with QE is complete.
  |Daher ist jede konsistente $\L$-Theorie mit QE vollständig.>
  .


Example|Beispiel:
  <|Let|> $\L_{}$ \<be the empty language|die leere Sprache> $\L_{} := {}$.
  \<We will see below that if $X$ is an infinite set, the $\L_{}$-structure 
  $(X;)$ has QE.
  |Wir werden unten sehen, dass wenn $X$ eine unendliche Menge ist, die 
  $\L_{}$-Struktur $(X;)$ QE besitzt.>
  \<Moreover, we will see that|Außerdem werden wir sehen, dass>
  $T_\infty := \{ \exists x_1,...,x_n\. //\\_{i/=j} x_i /= x_j : n (- \omega 
  \}$
  \<has QE, and so axiomatises $\Th((X;))$.
  |QE besitzt. Daher axiomatisiert $T_\infty$ die Theorie $\Th((X;))$.>
  .

<|If|> $\M$ \<is an|eine> $\L$-<|structure|>
<|and|> $\Phi$ \<is a set of|eine Menge von> $\L$-<|formulas|>\<| ist>,
\<the \defn{expansion by relations for $\Phi$} is
|ist die \defn{Expansion durch Relatationen für $\Phi$}>
\<the expansion of|die Expansion von> $\M$ \<to|zu>
$\L \cup \{ R_\phi : \phi (- \Phi \}$,
<|where|> $R_\phi$ \<is interpreted as|durch>
$\phi(\M)$\<.| interpretiert wird.>
\<It has the same definable sets as|Sie hat die gleichen definierbaren Mengen 
wie> $\M$.

<|If|> $\M$ \<does not have QE|nicht QE besitzt>,
\<we can try to expand by relations for non-qf formulas until we obtain QE,
|können wir versuchen, QE zu erreichen, indem $\M$ durch Relationen für 
nicht-qf Formeln expandieren.>
\<e.g.|Z.B.>:

Fact|Fakt[Tarski-Seidenberg]:
  $(\R;+,-,\cdot,0,1,<)$ \<has|besitzt> QE.
  .

\<We can always do this in a trivial way:
|Wir können immer QE in einer trivialen Weise erreichen:>

Remark|Bemerkung{morleyisation}:
  \<For any $\L$-structure $\M$, the expansion by relations for /all/ 
  $\L$-formulas (the ``Morleyisation'' of $\M$) has QE.
  |Sei $\M$ eine $\L$-Struktur. Dann besitzt die Expansion durch Relationen 
  für /alle/ $\L$-Formeln (die ``Morleyisierung'' von $\M$) QE.>
  .

\<For some particularly intractable structures, we can't really do any better 
than Morleyising:
|Für einige besonders unartige Strukturen gibt es keine wirklich bessere Wahl, 
als die Morleyisierung zu nehmen:>

Fact|Fakt[``\<The arithmetic hierarchy is strict|Die Arithmetische Hierachie ist echt>.'']:
  \<For any|Für alle> $n (- \omega$\<, the expansion of $(\N;+,\cdot)$ by 
  relations for all formulas with at most $n$ unbounded quantifiers
  | besitzt die Expansion von $(\N;+,\cdot)$ durch Relationen für alle Formeln 
  mit hochstens $n$ unbeschränkten Quantoren>
  (\<equivalently, all formulas of the form|dazu äquivalent, alle Formeln der 
  Form>
  $\exists \x_1\. \neg \exists \x_2\. ... \neg \exists \x_n\. \phi$, <|where|> 
  $\phi$ \<has no unbounded quantifier|keinen unbeschränkten Quantor hat>)
  \<does not have QE|nicht QE>.
  .

## \<Criterion for QE|Kriterium für QE>

Definition:
  ***)
  \<A \defn{basic} formula\footnote{
  Also known as a /literal/.
  % (probably this is better terminology really)
  } is an atomic formula or the negation of an atomic formula%
  |Eine \defn{basic} Formel\footnote{
  Auch auf Englisch als ``/literal/'' bekannt.
  % I don't know the German translation
  } ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel>.
  **
  \<A formula $\phi(\x)$ is \defn{primitive existential} if it is of the form
  |Eine Formel $\phi(x)$ heißt \defn{primitiv existentiell}, wenn sie die 
  Form>
  $\exists y\. //\\_i \psi_i(y,\x)$\<| hat>,
  <|where|> \<each|jede> $\psi_i$ \<is basic|basic ist>.
  *e)*
  .

Lemma{primExQE}:
  <|Let|> $T$ \<be an|eine> $\L$-<|theory|>.
  \<If|Wenn>
  \<any primitive existential $\L$-formula $\phi(\x)$ is equivalent modulo $T$ 
  to a quantifier free formula $\psi(\x)$,
  |jede primitiv existentielle $\L$-Formel $\phi(\x)$ äquivalent modulo $T$ zu 
  einer quantorenfreien Formel $\psi(\x)$ ist,>
  \<then $T$ has QE|besitzt $T$ QE>.
  .
Proof:
  \<We show by induction on complexity that
  |Wir zeigen durch Induktion über Komplexität, dass>
  \<any $\phi(\x)$ is equivalent modulo $T$ to a quantifier free formula 
  $\psi(\x)$.
  |jede $\L$-Formel $\phi(\x)$ äquivalent modulo $T$ zu einer quantorenfreien 
  Formel $\psi(\x)$ ist.>
  \<For atomic $\phi$ this is clear.
  |Für atomare $\phi$ ist dies klar.>
  <|For|> $\phi = \phi' /\ \phi''$ <|or|> $\phi = \neg \phi'$ \<it is 
  immediate by induction|folgt es sofort per Induktion>.

  <|For|> $\phi = \exists y\. \phi'$:
  \<by the inductive hypothesis
  |aus der Induktionsvoraussetzung>
  \<|gilt> $\phi' <-->_T \psi$ <|with|> $\psi$ 
  \<quantifier-free|quantorenfrei>.
  \<We may assume $\psi$ is in disjunctive normal form
  |Wir können annehmen, dass $\psi$ in disjunktiver Normalform ist>:
  $\psi = \\//_i //\\_j \psi_{ij}$,
  <|where|> \<each|jede> $\psi_{ij}$ \<is basic|basic ist>.
  \<So|Somit>
  $\phi <-->_T \\//_i \exists y\. //\\_j \psi_{ij}$.
  \<Each formula|Jede Formel> $\exists y\. //\\_j \psi_{ij}$ \<is primitive 
  existential|ist primitiv existentiell>,
  \<and we conclude by the assumption.
  |und die Behauptung folgt aus der Voraussetzung.>
  .

!newop Diag

Definition:
  \<The \defn{diagram} of an $\L$-substructure $\A$ of an $\L$-structure is 
  the $\L(\A)$-theory
  % Note to self: we really should just have allowed empty structures from the 
  % start (and then been careful with the definition of ultraproduct).
  |Das \defn{Diagramm} einer $\L$-Unterstruktur $\A$ einer $\L$-Struktur ist 
  die $\L(\A)$-Theorie>
  $$ \Diag(\A) := \"qfTh(\A_\A) := \{ \sigma : \sigma \textrm{ qf } 
  \L(\A)\textrm{-<|sentence|>},\; \A_\A |= \sigma \} .$$
  .

Lemma{diagrams}[\<Method of diagrams|Diagrammmethode>]:
  \<Up to isomorphism,|Bis auf Isomorphie>
  \<the models of|sind die Modelle von> $\Diag(\A)$
  \<are precisely|genau> $\M_\A$, \<where|wobei>
  $\M$ \<is an $\L$-structure and|eine $\L$-Struktur ist und>
  $\A <= \M$.
  %\<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$
  %\<expands to a model of|expandiert zu einer Modell von>
  %$\Diag(\A)$ \<iff|genau dann, wenn> $\A$ \<embeds as a substructure in 
  %$\M$|in $\M$ einbettet als Unterstruktur>.
  .

Theorem|Satz{QECrit}:
  \<For an $\L$-theory $T$, TFAE:
  |Sei $T$ eine $\L$-Theory. Dann sind äquivalent:>
  ***(i)
  $T$ \<has|besitzt> QE.
  **(ii)
  <|If|> $\M,\N |= T$ \<have a common $\L$-substructure $\A$,
  |eine gemeinsame $\L$-Unterstruktur $\A$ haben,>
  \<then|gilt> $\M_\A == \N_\A$.
  **[(ii')]
  ``$T$ \<is \defn{substructure complete}|ist 
  \defn{unterstrukturvollständig}>'':
  <|If|> $\M |= T$ <|and|> $\A <= \M$ \<is an $\L$-substructure|eine 
  $\L$-Unterstruktur ist>,
  \<then|ist> $T \cup \Diag(\A)$ \<is complete|vollständig>.
  **[(iii)]
  <|If|> $\M,\N |= T$ \<have a common $\L$-substructure $\A$,
  |eine gemeinsame $\L$-Unterstruktur $\A$ haben>
  <|and|> $\a (- \A^{<\omega}$
  <|and|> $\phi(\x)$ \<is a primitive existential $\L$-formula,
  |eine primitiv existentielle $\L$-Formel ist,>
  \<then|gilt>
  $$ \M |= \phi(\a) <==> \N |= \phi(\a) .$$
  **[(iii')]
  <|If|> $\M,\N |= T$ \<have a common finitely generated $\L$-substructure 
  $\A$,
  |eine gemeinsame endlich erzeugte $\L$-Unterstruktur $\A$ haben,>
  <|and|> $\sigma$ \<is a primitive existential $\L(\A)$-sentence,
  |eine primitiv existentielle $\L(\A)$-Aussage ist,>
  \<then|gilt>
  $$ \M_\A |= \sigma <==> \N_\A |= \sigma .$$
  *ee*
  .
Proof:--
  ***)[(i) $==>$ (ii):]
  <|Let|> $\phi(\a)$ \<be an|eine> $\L(\A)$-<|sentence|>.
  \<By|Nach> (i)\<,|> \<$\phi(\x)$ is equivalent to some qf $\phi'(\x)$
  |ist $\phi(\x)$ äquivalent zu einer qf Formel $\phi'(\x)$> modulo $T$.
  <|Then|> $\M_\A |= \phi'(\a) <==> \A |= \phi'(\a) <==> \M_\B |= \phi'(\a)$.
  \<So|Daher> $\M_\A |= \phi(\a) <==> \M_\B |= \phi(\a)$.
  **[(ii) $<==>$ (ii'):]
  \<By|Nach> Lemma~{diagrams}\<,|> \<the models of|sind die Modelle von> 
  $T\cup\Diag(\A)$
  \<are exactly|genau> $\M_\A$,
  <|where|> $\M |= T$ <|and|> $\A <= \M$.
  <|So|> \<(ii) exactly says that|sagt (ii) genau, dass> $T\cup\Diag(\A)$
  \<is complete|vollständig ist>.
  **[(ii) $==>$ (iii):]
  <|Clear|>.
  **[(iii) $<==>$ (iii'):]
  <|Clear|>.
  **[(iii) $==>$ (i):]
  <|Let|> $\phi(\x)$ \<be primitive existential|primitiv existentiell>.
  \<By|Nach> Lemma~{primExQE}\<,|> \<it suffices to show that $\phi$ is 
  equivalent modulo $T$ to a qf formula
  |genügt es zu zeigen, dass $\phi$ äquivalent modulo $T$ zu einer qf Formel 
  ist>.

  <|Let|> $\c$ \<be a tuple of new constants|ein Tupel von neuen Konstanten> 
  <|with|> $|\c| = |\x|$.
  \\\<|Let|> $T_1 := T \cup \{ \phi(\c) \}$
  <|and|> $T_2 := T \cup \{ \neg\phi(\c) \}$.
  \\\<|If|> $T_1$ \<is inconsistent|inkonsistent ist>, \<then|gilt> $T |= 
  \forall\x\.\neg\phi(\x)$, \<and so|und daher> $\phi(\x) <-->_T \eet$.
  \\\<|If|> $T_2$ \<is inconsistent|inkonsistent ist>, \<then|gilt> $T |= 
  \forall\x\.\phi(\x)$, \<and so|und daher> $\phi(\x) <-->_T \tee$.
  \\\\<So assume|Nehmen wir also an, dass> $T_1$ <|and|> $T_2$ \<are 
  consistent|konsistent sind>.

  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $\Sg := \{ \psi(\c) : \psi(\x) \textrm{ qf } 
  \L\textrm{-<|formula|>} \}$ \<does not separate|> $T_1$ \<from|nicht von> 
  $T_2$\<| trennt>.
  \<Then by|Nach> Lemma~{separation}\<,|>
  \<there are|gibt es> $\M_1,\M_2 |= T$ <|and|> $\a_i (- \M_i$ <|with|> $\M_1 
  |= \phi(\a_1)$ <|and|> $\M_2 |= \neg\phi(\a_2)$,
  \<but for|aber für alle qf> $\psi(\x)$ \<qf,|gilt> $\M_1 |= \psi(\a_1) <==> 
  \M_2 |= \psi(\a_2)$.

  \<But then the map|Dann setzt sich die Abbildung> $\a_1 |--> \a_2$ \<extends 
  to an isomorphism|zu einem $\L$-Isomorphismus>
  $<{ \a_1 }>^{\M_1}_\L -~=-> <{ \a_2 }>^{\M_2}_\L$\<| fort>
  (\<namely|Nämlich> $t^{\M_1}(\a_1) |-> t^{\M_2}(\a_2)$ <|for|> $t$ \<an|ein> 
  $\L$-\<term|Term>),
  \<which itself extends to an isomorphism|der sich zu einem 
  $\L$-Isomorphismus>
  $\M_1 -~=-> \M_1' >= <{ \a_2 }>^{\M_2}_\L$\<| erweitern lässt>
  (\<by|nach> Lemma~{embedInc}).
  <|Then|> $\M_1' |= \phi(\a_2)$ <|and|> $\M_2 |= \neg\phi(\a_2)$.
  \<But this contradicts (iii)|Das widerspricht (iii)>.

  \<So there is|Also gibt es> $\psi(\c) (- \Sg$ \<such that|sodass> $T_1 |= 
  \psi(\c)$ <|and|> $T_2 |= \neg\psi(\c)$,
  \<i.e.|d.h.> $\phi(\x) -->_T \psi(\x)$ <|and|> $\neg \phi(\x) -->_T 
  \neg\psi(\x)$.
  <|So|> $\phi(\x) <-->_T \psi(\x)$.
  *e)*
  .

\<We can now generalise Remark~{emptyLangQEComp} to arbitrary languages:
|Wir können jetzt Bemerkung~{emptyLangQEComp} für beliebige Sprachen 
verallgemeinern:>

Corollary|Korollar{QEComp}:
  <|Let|> $T$ \<be a consistent $\L$-theory with QE.
  |eine konsistente $\L$-Theorie mit QE.>
  \<Then TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i) $T$ \<is complete|ist vollständig>.
  **(ii)
    \<For any|Für alle> $\M,\N |= T$\<,|>
    \<we have|gilt> $<{ {} }>^\M_\L ~= <{ {} }>^\N_\L$.
  *ee*
  .
Proof:--
  ***)[(i) $==>$ (ii):]
    \<The map|Die Abbildung> $t^\M |-> t^\N$ <|for|> $t$ \<an|ein> 
    $\L$-\<term|Term> \<with no variables|mit keine Variablen> \<is an 
    $\L$-isomorphism|ist ein $\L$-Isomorphismus>.
  **[(ii) $==>$ (i):]
    <|Let|> $\M |= T$ <|and|> $\A := <{ {} }>^\M_\L <= \M$.
    <|Let|> $\N |= T$.
    \<By|Nach> (ii)
    \<there is|gibt es> (\<by|nach> Lemma~{embedInc}) $\N' ~= \N$ <|with|> $\A 
    <= \N'$.
    \<Then by Theorem~{QECrit}(ii)|Nach Satz~{QECrit}(ii)>
    $\M_\A == \N'_\A$. <|Hence|> $\M == \N' ~= \N$.
    <|So|> \<$T$ is complete|ist $T$ vollständig>.

    %\<$\N$ expands to a model of
    %|expandiert $\N$ zu einem Modell von> $T \cup \Diag(\A)$,
    %\<which by Theorem~{QECrit}(ii') is complete.
    %|die nach Satz~{QECrit}(ii') vollständig ist.>
    %<|So|> $\N_\A == \M_\A$, <|hence|> $\N == \M$.
    %<|So|> \<$T$ is complete|ist $T$ vollständig>.
  *e)*
  .

## \<Examples|Beispiele>

### $T_\infty$

<|Let|> $T_\infty$ \<be the|die> $\L_{}$-<|theory|>
\[ T_\infty := \{ \exists x_1,...,x_n. //\\_{i/=j} x_i ./= x_j
    : n (- \omega \} .\]

Proposition:
    $T_\infty$ \<is complete and admits quantifier elimination.
    |ist vollständig und besitzt Quantorenelimination.>
    .
Proof:
    \<Completeness follows from QE, since the language has no 
    constants.
    |Vollständigkeit folgt aus Quantorenelimination, weil die Sprache keine 
    Konstante hat.>

    \<For QE, we show|Für QE zeigen wir>
    \<Theorem~{QECrit}|Satz~{QECrit}>(iii').

    \<Let|Seien> $\M,\N |= T_\infty$ \<and let|und> $\A <= \M,\N$
    \<be a finite common subset|eine endliche gemeinsame Teilmenge.>

    <|Let|> $\exists y\. \psi(y)$ \<be a primitive existential|eine primitiv 
    existentielle> $\L_\infty(\A)$-<|sentence|>.
    \<Suppose there exists|Angenommen, dass> $b (- \M$ \<such that|existiert, 
    sodass> $\M_\A |= \psi(b)$.
    \<We must find|Wir müssen ein> $b' (- \N$ \<such that|finden, sodass> 
    $\N_\A |= \psi(b')$.

    \<If|Falls> $b (- \A$: \<set|Setze> $b' := b$.
    \<If|Falls> $b (/- \A$: \<since|Weil> $\N |= T_\infty$, \<$\N$ is 
    infinite;|ist $\N$ unendlich;>
    \<set|setze> $b' (- \N \\ \A$.

    \<Then|Dann ist> $\id_\A \cup \{b |-> b'\}$
    \<is a bijection, and hence an|eine Bijektion und demnach ein> 
    $\L_\infty(\A)$-\<isomorphism|Isomorphismus>.
    %Dann gelten die gleichen Identitäten in $(b,a_1,...,a_{|\a|})$ wie in 
    %$(b',a_1,...,a_{|\a|})$.
    \<So|Daher> $\N_\A |= \psi(b')$.
    .

!newop DLO
### $\DLO$

<|Let|> $\L_< := \{<\}$ <|and|> <|let|> $\DLO$ \<be the|die> $\L_<$-<|theory|>
\<of dense linear orderings without endpoints:
|dichter linearer Orderungen ohne Endpunkten:>
*\[a* \DLO := \{ \forall x,y,z\. &( \neg x < x\\\
& /\ (x < y \/ x = y \/ y < x)\\\
& /\ ( (x < y /\ y < z) --> x < z )\\\
& /\ (x < y --> \exists w\. (x < w /\ w < y))\\\
& /\ \exists w\. w < x\\\
& /\ \exists w\. x < w ) \} .*a\]*

Proposition:
    $\DLO$ \<is complete and admits quantifier elimination|ist vollständig und 
    besitzt Quantorenelimination>.

    \<In particular, $\DLO$ axiomatises|Insbesondere ist $\DLO$ eine 
    Axiomatisierung von> $(\Q;<)$.
    \<Hence|Folglich ist> $\Th((\Q;<))$ \<is decidable.|entscheidbar.>
    .
Proof:
    \<Completeness follows from quantifier elimination, since the language has 
    no constants.|Vollständigkeit folgt aus Quantorenelimination, weil die 
    Sprache keine Konstante besitzt.>

    \<Decidability follows from completeness, since $\DLO$ is a recursive set, 
    and hence|
    Entscheidbarkeit folgt aus Vollständigkeit, weil $\DLO$ eine rekursive 
    Menge ist, und damit> $\Th((\Q;<)) = \{ \sigma : \DLO |= \sigma \}$ \<and 
    its complement|und ihr Komplement> $\{ \sigma : \DLO |= \neg \sigma \}$ 
    \<are recursively enumerable, from which it follows that|rekursiv 
    aufzählbar sind, und daher> $\Th((\Q;<))$ \<is recursive.|rekursiv ist.>

    \<Let|Seien> $\M,\N |= \DLO$ \<and let|und> $\A = \{a_1,...,a_n\} <= 
    \M,\N$ \<be a common finite substructure. Without loss of generality, we 
    may assume|eine gemeinsame endliche Unterstruktur. Ohne Beschränkung gilt> 
    $a_1 < a_2 < ... < a_n$.

    <|Let>| $\exists y\. \psi(y)$ \<be a primitive existential 
    $\L_<(\A)$-sentence.|eine primitiv existentielle $\L_<(\A)$-Aussage.>
    \<Suppose there exists|Angenommen, dass> $b (- \M$ \<with|existiert, 
    sodass> $\M_\A |= \psi(b)$.
    \<We find|Wir finden ein> $b' (- \N$ <|with|> $\N_\A |= \psi(b')$.

    \<There are four cases:|Es gibt vier Fälle:>
    **(i) $b (- A$: \<set|Setze> $b' = b$.
    **(ii) $b < a_1$: \<let|Sei> $b' (- \N$ \<be such that|sodass> $b' < a_1$ 
    ($b'$ \<exists, since $\N$ has no endpoint).|existiert, weil $\N$ keinen 
    Endpunkt hat).>
    **(iii) $b > a_n$: \<let|Sei> $b' (- \N$ \<be such that|sodass> $b' > a_n$ 
    ($b'$ \<exists, since $\N$ has no endpoint).|existiert, weil $\N$ keinen 
    Endpunkt hat).>
    **(iv) $a_i < b < a_{i+1}$: \<let|Sei> $b' (- \N$ \<be such that|sodass> 
    $a_i < b' < a_{i+1}$ ($b'$ \<exists, since $\N$ is dense).|existiert, weil 
    $\N$ dicht ist).>
    *ee*

    \<In all cases,|In allen Fällen ist> $A \cup \{ b \}$ \<is isomorphic 
    to|zu> $A \cup \{ b' \}$ \<over $A$ as ordered sets.|über $A$ isomorph als 
    angeordnete Mengen.>
    \<Hence|Daher> $\N_\A |= \psi(b')$.
    .

### $(\Z;S)$

<|Let|> $\L_S := \{S\}$, <|where|> $S$ \<is a unary function.
|ein 1-stelliges Funktionszeichen ist.>

<|Let|> $T_S$ \<be the|die> $\L_S$-\<theory of cycle-free bijections|Theorie 
von zyklenfreien Bijektionen>
$$T_S := \{ \forall x,y\.
( (S(x) = S(y) --> x=y) /\ \exists z\. S(z) = x ) \}
\cup \{ \forall x\. S^n(x) ./= x : n >= 1 \}$$
(<|where|> $S^{n+1}(x) := S(S^n(x))$; $S^1(x) := S(x)$).

% Note: if we allow the empty structure, we have to rule it out in this  
% axiomatisation

$(\Z;S) |= T_S$ (<|where|> $S^\Z(n) := n+1$).

Proposition:
  $T_S$ \<is complete and admits quantifier elimination.|ist vollständig und 
  besitzt Quantorenelimination.>

  \<In particular,|Insbesondere ist> $(\Z;S)$ \<is decidable and axiomatised 
  by $T_S$.|entscheidbar und durch $T_S$ axiomatisiert.>
  .
Proof:
  \<Completeness follows from quantifier elimination, since the language has 
  no constants.|Vollständigkeit folgt aus Quantorenelimination, weil die 
  Sprache keine Konstante besitzt.>

  \<Let|Seien> $\M,\N |= T_S$ \<and let $\A$ be a common finitely generated 
  substructure.|mit einer endlich erzeugten gemeinsamen Unterstruktur $\A$.>

  \<We may assume that|Wir können annehmen, dass> $S(\A) = \A$: \<Indeed,|In 
  der Tat ist> $\bigcup_n (S^{\M})^{-n}(\A)$ \<is isomorphic to|zu>
  $\bigcup_n(S^{\N})^{-n}(\A)$ \<over $\A$, since $\M$ and $\N$ are 
  cycle-free.|über $\A$ $\L_S$-isomorph, weil $\M$ und $\N$ zyklenfrei sind.>

  \<Then every atomic|Dann ist jede atomare> $\L_S(\A)$-<|formula|> $\phi(x)$ 
  \<is equivalent modulo|modulo> $T_S \cup \Diag(\A)$ \<to|zu> $x .= a$ \<for 
  some $a (- \A$, or to $\tee$, or to $\eet$.|(für ein $a (- \A$) oder $\tee$ 
  oder $\eet$ äquivalent.>
  \<Indeed:|In der Tat:>
  $$S^n(x) .= S^m(x) <-->_{T_S} \begin{cases} \tee & (n=m) \\\ \eet & 
    (n/=m)\end{cases};$$
  $$S^n(x) .= S^m(a) <-->_{T_S \cup \Diag(\A)} x .= S^{m-n}(a) ( (- \A ) .$$

  \<Hence any primitive existential $\L_S(\A)$-formula $\sigma$ is equivalent 
  modulo $T_S \cup \Diag(\A)$ to $\tee$, or $\eet$, or|Daher ist eine primitiv 
  existentielle $\L_S(\A)$-Aussage $\sigma$ zu $\tee$ oder $\eet$ oder>
  $$\exists y\. //\\_{i<k} y .= a_i /\ //\\_{i<l} y ./= b_i$$ \<.|modulo $T_S 
  \cup \Diag(\A)$ äquivalent.>
  \<Since $\M$ and $\N$ are infinite, we have|Weil $\M$ und $\N$ unendlich 
  sind, gilt> $\M_\A |= \sigma <==> \N_\A |= \sigma$.

  \<The result now follows by|Die Behauptung folgt nach>
  \<Theorem~{QECrit}|Satz~{QECrit}>(iii').
  .

!newop ACF
### $\ACF$

\<Let|Sei> $\Lring := \{+,-,\cdot,0,1\}$.
\<Let|Sei> $\ACF$ \<be the|die> $\Lring$-\<theory of algebraically closed 
fields:|Theorie von algebraisch abgeschlossenen Körpern:>
$$ \ACF := \textrm{ [Körperaxiome] } \cup
\{ \forall z_0,...,z_n\. \exists x\. \sum_{i=0}^n z_ix^i .= 0
: n >= 1 \} .$$

Proposition:
    $\ACF$ \<admits quantifier elimination.|besitzt Quantorenelimination.>
    .
Proof:
    \<Let|Sei> $K_i |= \ACF$ \<and let|und> $R = <{ a_1,...,a_n }> <= K_1,K_2$ 
    \<be a finitely generated common subring.|ein endlich erzeugter 
    gemeinsamer Unterring.>

    \<Let|Sei> $\exists y\. \psi(y)$ \<be a primitive existential 
    $\Lring(R)$-sentence. Suppose there is $b (- K_1$ such that|eine primitiv 
    existentielle $\Lring(R)$-Aussage.
    Angenommen, dass $b (- K_1$ existiert, sodass> $K_1 |= \psi(b)$.
    \<We show that|Wir zeigen, dass> $K_2 |= \exists y\. \psi(y)$.

    \<Let|Sei> $F_i$ \<be the quotient field of $R$ in $K_i$.|der 
    Quotientenkörper in $K_i$ von $R$.>
    \<Then $\id_R$ extends to an isomorphism|Dann lässt $\id_R$ sich zu einem 
    Isomorphismus> $f : F_1 -~=-> F_2$ \<|erweitern>
    ($F_1 -) \frac r s |--> \frac r s (- F_2$).

    \<Now let $G_i$ be the algebraic closure of $F_i$ in $K_i$, namely the set 
    of all solutions to polynomial equations with coefficients in $F_i$.
    |Nun sei $G_i$ der algebraische Abschluss von $F_i$ in $K_i$,
    d.h. die Menge aller Lösungen von Polynomgleichungen mit Koeffizienten in 
    $F_i$.>

    \<Since the algebraic closure of $F_i$ is uniquely determined up to 
    $F_i$-isomorphism, $f$ extends to an isomorphism|Weil der algebraisch 
    Abschluss von $F_i$ bis auf $F_i$-Isomorphie endeutig bestimmt ist, lässt 
    $f$ sich zu einem Isomorphismus> $g : G_1 -~=-> G_2$ \<.|erweitern.>

    \<If|Falls> $b (- G_1$, \<we have|gilt> $K_2 |= \psi(g(b))$.

    \<Otherwise:|Sonst:> $b$ \<is transcendental over $G_1$. Then $G_1(b)$ is 
    isomorphic over $G_1$ to the rational function field $G_1(X)$. Let $K_2'$ 
    be a proper elementary extension of $K_2$. Then say|ist transzendent über 
    $G_1$.
    Dann ist $G_1(b)$ isomorph über $G_1$ zum rationalen Funktionkörper 
    $G_1(X)$.
    Sei $K_2'$ eine echte elementare Erweiterung von $K_2$.
    Dann gibt es> $b' (- K_2' \\ G_2$. \<Then $G_2(b')$ is again isomorphic 
    over $G_2$ to the rational function field $G_2(X)$. Hence $g$ extends to 
    an isomorphism|Dann ist $G_2(b')$ wieder isomorph über $G_2$ zum 
    rationalen Funktionkörper $G_2(X)$.
    Deshalb lässt $g$ sich zu einem Isomorphismus> $h : G_1(b) --> G_2(b')$ 
    \<with|mit> $h(b) = b'$ \<.|erweitern.>
    \<Hence|Deswegen folgt> $K_2' |= \psi(b')$
    \<and so|und deshalb> $K_2' |= \exists y\. \psi(y)$.
    \<Finally, we conclude|Daher folgt schließlich> $K_2 |= \exists y\. 
    \psi(y)$.
    .

%\newcommand{\cornerQuote}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner}
\<For|Für> $p (- \|N$ \<prime, let|prim, sei> $\ACF_p := \ACF \cup \{ \bar{p} 
.= 0 \}$,
\<where|wobei> $\bar{n}$ \<is the term|der Term> $1 + 1 + ... + 1$ ($n$ 
\<times).|Mal) ist.>

\<Let|Sei> $\ACF_0 := \ACF \cup \{ \bar{n} ./= 0 : n >= 1 \}$.

Theorem:
    \<The completions of $\ACF$ are precisely $\ACF_p$ for $p$ prime or 0.|Die 
    Vervollständigungen von $\ACF$ sind $\ACF_p$ für $p$ prim oder 0.>
    .
Proof:
    \<The characteristic of a field is either prime or 0. For $K$ a field of 
    characteristic $p$,|Die Charakteristik eines Körpers ist prim oder 0.
    Für $K$ ein Körper mit Charakteristik $p$ ist>
    $$<{ {} }>_{\Lring}^K = \begin{cases} \|F_p & p /= 0\\\
      \Z & p = 0 \end{cases} .$$
    \<So quantifier elimination implies by|Deswegen impliziert 
    Quantorenelimination nach> \<Corollary~{QEComp}|Korollar~{QEComp}> 
    \<completeness of each|Vollständigkeit von jedem> $\ACF_p$.
    .

Theorem|Satz[Ax]:
  \<Any injective polynomial map|Jede injektive Polynomabbildung>
  $F : \C^n --> \C^n$
  (\<i.e.|d.h.> $F(\a) = (F_1(\a),...,F_n(\a)$, <|where|> $F_i (- 
  \C[\overline{X}]$)
  \<is surjective|ist surjektiv>.
  .
Proof:
  Claim|Behauptung:
    \<Let $p$ be prime.
    |Sei $p$ eine Primzahl.>
    \<Any injective polynomial map|Jede injektive Polynomabbildung>
    $F : (\Fpalg)^n --> (\Fpalg)^n$
    \<is surjective|ist surjektiv>.
    .
  Proof:
    \<Recall|Wir haben>: $\Fpalg = \bigcup_k \F_{p^k}$.

    <|Let|> $k_0$\< be such that the coefficients of $F$ are in
    |,sodass die Koeffizienten von $F$ in>
    $\F_{p^{k_0}}$\<| sind>.

    <|Let|> $k >= k_0$.
    Dann $F(\F_{p^k}^n) (= \F_{p^k}^n$\<, and so by injectivity and the 
    pigeonhole principle,
    |. Nach Injektivität und dem Schubfachprinzip gilt>
    $F(\F_{p^k}^n) = \F_{p^k}^n$.

    <|Hence|> $F((\Fpalg)^n) = (\Fpalg)^n$.
    .

  <|Let|> $n,d (- \omega$.
  <|Let|> $\sigma_{n,d}$ \<be an|eine> $\Lring$-<|sentence|>\< expressing that 
  any injective polynomial map
  |, die ausdrückt, dass jede injektive Polynomabbildung>
  $F : K^n --> K^n$\< consisting of polynomials of degree $<=d$ is surjective:
  |, die von Polynome mit Grad $<=d$ besteht, surjektiv ist:>
  $$ \sigma_{n,d} :=
  \forall z_{1,0},...,z_{n,d}\. ( \forall \x,\y\. (
  (//\\_i \sum_j z_{i,j}x_i^j .= \sum_j z_{i,j}y_i^j) --> //\\_i x_i .= y_i )
  \\\--> \forall \y\. \exists \x\. //\\_i \sum_j z_{i,j}x_i^j .= y_i ) .$$

  \<Suppose|Angenommen, dass> $\C |/= \sigma_{n,d}$.
  \<Then by completeness of|Nach Vollständigkeit von> $\ACF_0$\<,| gilt>
  $\ACF_0 |= \neg\sigma_{n,d}$.
  \<Then by compactness, for some|Nach Kompaktheit gibt es> $m (- \omega$, 
  \<|sodass>
  $$\ACF |= //\\_{0 < i < m} \bar{i} ./= 0 --> \neg\sigma_{n,d} .$$
  \<So if|Wenn> $p > m$ \<is prime,|prim ist, gilt dann>
  $\ACF_p |= \neg\sigma_{n,d}$.
  \<But this contradicts the Claim|Das widerspricht der Behauptung>.
  .

### Presburger Arithmetik

Beispiel:
  (ohne Beweis)
  In $(\Z;+,<)$ sind $n\Z (= \Z$ ($n>=2$) existentiell definierbar aber nicht 
  qf definierbar.
  Jedoch hat $(\Z;0,1,+,-,<,2\Z,3\Z,4\Z,...)$ QE.
  .


# \<Elementary extensions|Elementare Erweiterungen>

Theorem|Satz{tarskiTest}[Tarski-Test]:
  \<Suppose|Sei> $\M$ \<is an|eine> $\L$-<|structure|> <|and|> $A$
  \<is a subset|eine Teilmenge>.
  \<TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i)
  \<$A$ is the domain of an elementary substructure;
  |$A$ ist die Grundmenge einer elementaren Unterstruktur;>
  **(ii) <|for|> \<every|jede> $\L(A)$-<|formula|>
  \<in one free variable|in einer freien Variable> $\phi(x)$ gilt:
    <|if|> $\M |= \exists x\. \phi(x)$,
    \<then|gilt> $\M |= \phi(a)$ \<for some|für ein> $a (- A$.
  *ee*
  .
Proof:--
  ***)[(i) $==>$ (ii):]
  \<Let $\A$ be the elementary substructure with domain $A$.
  |Sei $\A$ die elementare Unterstruktur, die Grundmenge $A$ hat.>
  \<Then if|Falls> $\M |= \exists x\. \phi(x)$,
  \<then|> $\A |= \exists x\. \phi(x)$ \<by elementarity|durch Elementarität>;
  \<so say|wähle ein> $a (- A$ \<and|mit> $\A |= \phi(a)$;
  \<but then|dann> $\M |= \phi(a)$ \<by elementarity|durch Elementarität>.

  **[(ii) $==>$ (i):]
  \<By (ii) with|Aus (ii) mit>
  $\phi(x) := x .= f(\a)$ \<we have that|folgt, dass> $A$ \<is closed under 
  ($>=0$-ary) functions|geschlossen unter ($>=0$-st) Funktionen ist>.
  \<So $A$ is the domain of a substructure $\A$.
  |Daher ist $A$ die Grundmenge eine Unterstruktur $\A$.>

  \<We show by induction on complexity that for any $\L(A)$-sentence $\sg$,
  |Wir zeigen durch Induktion über Formelkomplexität, dass für jede 
  $\L(A)$-Aussage $\sg$>
  Equation{tarski}:
    \A |= \sg <==> \M |= \sg .
    .

  \<\eqnref{tarski} holds for $\sg$ atomic since $\A$ is a substructure,
  and if it holds for $\sg$ and $\sg'$ then clearly it holds for
  |\eqnref{tarski} gilt für atomare $\sg$, weil $\A$ eine Unterstruktur ist, 
  und wenn es für $\sg$ und $\sg'$ gilt, gilt es offensichtlich auch für>
  $\neg\sg$ <|and|> $(\sg /\ \sg')$.

  \<So suppose|Nun nehmen wir an, dass> $\sg = \exists x\. \phi(x)$,
  \<and \eqnref{tarski} holds for $\phi(a)$ for any $a (- A$.
  |und \eqnref{tarski} für $\phi(a)$ für jedes $a (- A$ gilt.>

  <|If|> $\A |= \sg$, \<then|gilt> $\A |= \phi(a)$ \<for some|für ein> $a (- 
  A$, \<so|somit> $\M |= \phi(a)$ \<by the induction hypothesis|durch die 
  Induktionsvoraussetzung>, \<so|daher> $\M |= \sg$.
  \bi
  {Conversely, if $\M |= \sg$, then $\M |= \phi(b)$ for some $b (- \M$, so, by 
  (i), $\M |= \phi(a)$ for some $a (- A$, so $\A |= \phi(a)$ by the induction 
  hypothesis, so $\A |= \sg$.}
  {Nehmen wir umgekehrt an, dass $\M |= \sg$. Dann $\M |= \phi(b)$ für ein $b 
  (- \M$. Durch (ii) $\M |= \phi(a)$ für ein $a (- A$. Dann $\A |= \phi(a)$ 
  durch die Induktionsvoraussetzung. Daher $\A |= \sg$.}
  *e)*
  .

Definition:
  \<An $\L$-theory $T$ has \defn{built-in Skolem functions},
  |Eine $\L$-Theorie $T$ besitzt \defn{interne Skolemfunktionen},>
  \<if for every $\L$-formula $\phi(x,\y)$ there is $f_{\phi(x,\y)} (- \L$ 
  such that
  |wenn es für jede $\L$-Formel $\phi(x,\y)$ ein Funktionszeichen 
  $f_{\phi(x,\y)} (- \L$ gibt, sodass>
  $$ T |= \forall \y\.(\exists x\.\phi(x,\y) --> \phi(f_{\phi(x,\y)}(\y),\y)) 
  .$$
  .

Lemma{skolemHull}:
  \<If $T$ is an $\L$-theory with built-in Skolem functions, then 
  substructures of models are elementary:
  if
  |Wenn $T$ eine $\L$-Theorie mit interne Skolemfunktionen ist,
  sind Unterstrukturen von Modelle elementar:
  Wenn> $\N <= \M |= T$\< then|, gilt> $\N <~ \M$.
  .
Proof:
  <|Let|> $\phi(x,\a)$ \<be an|eine> $\L(\N)$-<|formula|>,
  \<and suppose|und nehmen wir an, dass>
  $\M |= \exists x\. \phi(x,\a)$.
  <|Then|> $f_{\phi(x,\y)}(\a) (- \N$, <|since|> $\N <= \M$,
  <|and|> $\M |= \phi(f_{\phi(x,\y)}(\a),\a)$.
  \<So by|Damit gilt nach> \<Theorem~{tarskiTest}|Satz~{tarskiTest}>
  $\N <~ \M$.
  .

Lemma{skolemisation}:
  <|Let|> $T$ \<be an|eine> $\L$-<|theory|>.
  <|Then|> $T$ \<has a \defn{skolemisation}|hat eine \defn{Skolemexpansion}> 
  $T^* )= T$,
  \<a theory in a language|d.h. eine Theorie in einer Sprache> $\L^* )= \L$ 
  <|with|> $|\L^*| = |\L|+\aleph_0$,
  \<such that|sodass> $T^*$
  \<has built-in Skolem functions|interne Skolemfunktionen hat>,
  \<and any model of $T$ expands to a model of $T^*$.
  |und jedes Modell von $T$ expandiert zu einem Modell von $T^*$.>
  .
Proof:
  <|Let|> $\L_0 := \L$
  <|and|> $\L_{i+1} := \L_i \cup \{ f_{\phi(x,\y)} : \phi(x,\y)
  \textrm{ \<an|eine> $\L_i$-<|formula|>}\}$
  <|and|> $\L^* := \bigcup_i L_i$.

  <|Let|>
  $ T^* := T \cup \{ \forall \y\.(\exists x\.\phi(x,\y) --> 
  \phi(f_{\phi(x,\y)}(\y),\y)) \;|\; \phi(x,\y)
  \textrm{ \<an|eine> $\L^*$-<|formula|>}\}$.

  <|If|> $\M |= T$,
  \<recursively define the $f_{\phi(x,\y)}$ to witness the existentials (using 
  the axiom of choice) to obtain an expansion to a model of $T^*$.
  |können wir nach dem Auswahlaxiom rekursiv die $f_{\phi(x,\y)}$ definieren, 
  um ein Modell von $T^*$ zu erreichen.>
  .

Theorem|Satz{LS}[Löwenheim-Skolem]:
  \<Let $\M$ be an infinite $\L$-structure.
  |Sei $\M$ eine unendliche $\L$-Struktur.>

  **(i)
  ``\<Downwards|Abwärts>'':
  \<If|Sei> $A (= \M$ \<is a subset|eine Teilmenge>
  <|with|> $|A| >= |\L| + \aleph_0$,
  \<then there exists an elementary substructure
  |Dann gibt es eine elementare Unterstruktur>
  $\N <~ \M$\< containing $A$, with|, sodass $A (= \N$ und>
  $|\N| = |A|$.

  **(ii)
  ``\<Upwards|Aufwärts>'':
  \<For any cardinal|Für jede Kardinalzahl>
  $\kappa >= |\L| + |\M|$
  \<there exists an elementary extension
  |gibt es eine elementare Erweiterung>
  $\N >~ \M$ <|with|> $|\N| = \kappa$.
  *ee*

  \<In particular, for any|Insbesondere gibt es für jedes>
  $\kappa >= |\L|+\aleph_0$\<, there is| ein Modell>
  $\N == \M$ <|with|> $|\N| = \kappa$.
  .
Proof:
  **(i)
  %\<By|Nach> Lemma~{skolemisation}
  %\<we may assume|können wir annehmen, dass>
  \<First, assume|Zuerst nehmen wir an, dass>
  $T := \Th(\M)$ \<has built-in skolem functions|interne Skolemfunktionen 
  hat>.

  <|Let|> $\N := <{ A }>^\M_{\L^*}$.
  \<By|Nach> Lemma~{substGenCard}\<,|> $|\N| = |A|$.
  \<By|Nach> Lemma~{skolemHull}\<,|> $\N <~ \M$.

  \<Now for the general case,
  |Nun zu dem allgemeinen Fall:>
  \<let|Seien> $\L^*$ <|and|> $T^*$ \<be as in Lemma~{skolemisation},
  |wie in Lemma~{skolemisation}>
  <|and|> <|let|> $\M^* |= T^*$ \<be an expansion of|eine Expansion von> $\M$ 
  \<to|zu> $\L^*$.
  <|Since|> $|\L^*| = |\L| + \aleph_0$,
  \<we have|gilt> $|A| >= |\L^*| + \aleph_0$\<,|.>
  \<so we obtain|Dann erhalten wir> $A (= \N^* <~ \M^*$ <|with|> $|\N^*| = 
  |A|$.
  <|Then|> \<|ist> $\N := \N^*|_{\L}$ \<is as required|wie gewünscht>.

  **(ii)
  <|Let|> $\L' := \L(\M) \dotcup \{ c_i : i (- \kappa \}$,
  <|where|> $c_i$ \<are new constants|neue Konstanten sind>,
  <|and|> $T' := \Th(\M_\M) \cup \{ c_i ./= c_j : i /= j (- \kappa \}$.
  <|Then|> $T'$ \<is consistent since $\M$ is infinite
  |ist konsistent, weil $\M$ unendlich ist.>
  <|Let|> $\M' |= T'$ <|with|> $\M <= \M'$
  <|and|> <|let|> $A := \{ c_i^{\M'} : i (- \kappa \} (= \M'$.
  <|Then|> \<by|nach> (i),
  \<there exists|gibt es> $\N <~ \M'$ <|with|> $|\N| = |A| = \kappa$.
  <|Now|> $\N >~ \M$, <|since|> $\N |= \Th(\M_\M)$.
  *ee*
  .

Corollary|Korollar[``\<Skolem's Paradox|Das Skolem-Paradoxon>'']:
  <|If|> $\ZFC$ \<is consistent, it has a countable model.
  |konsistent ist, hat es ein abzählbares Modell.>
  \<This is not a paradox|Dies ist kein Paradoxon>!
  .

Corollary|Korollar:
  \<No infinite structure is determined uniquely up to isomorphism by its 
  theory.
  |Kein unendliche Struktur ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt durch 
  ihre Theorie.>
  .

Remark|Bemerkung:
  \<In contrast, any /finite/ structure /is/ determined uniquely up to 
  isomorphism by its theory.
  |Im Gegensatz dazu /ist/ jede /endliche/ Struktur durch ihre Theorie bis auf 
  Isomorphie eindeutig bestimmt.>
  .

Remark|Bemerkung:
  $(\R;+,\cdot,<)$ \< /is/ the unique complete ordered field; but ``complete'' 
  (every bounded subset has a supremum) is not first-order expressible.
  | /ist/ der eindeutig bestimmte vollständige geordnete Körper; aber 
  ``vollständig'' (jede beschränkte Teilmenge hat ein Supremum) ist nicht in 
  der Logik erster Stufe ausdrückbar.>
  .

Definition:
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<A theory $T$ is|Eine Theorie $T$ heißt> \defn{$\kappa$-<|categorical|>}\< 
  if $T$ has a unique model of cardinality $\kappa$ up to isomorphism.
  |, wenn $T$ ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmtes Modell der 
  Mächtigkeit $\kappa$ besitzt.>
  .

Theorem|Satz[Cantor]:
  $\DLO$ <|is|> $\aleph_0$-<|categorical|>.
  .
Proof:
  (``\<Back-and-forth argument|Hin-und-her-Argumentation>'')

  \<Let|Seien> $\M,\N |= \DLO$ <|with|> $|\M| = \aleph_0 = |\N|$.
  \<Let|Seien> $\M = (m_i)_{i (- \omega}$ <|and|> $\N = (n_i)_{i (- \omega}$.
  \<We recursively construct a chain of partial isomorphisms
  |Wir bauen rekursiv eine Kette von partiellen Isomorphismen>
  $\theta_i : \M \dasharrow \N$\< such that|, sodass>
  Equation{cantor}:
    \tag{*}
    |\dom{\theta_i}| < \aleph_0 \text{ und
    \<for all|für alle> } j<i \text{\<, we have| gilt> }
    m_j (- \dom{\theta_i} \text{ <|and|> } n_j (- \im{\theta_i}.
    .

  <|Let|> $\theta_0 := {}$.
  \\\\<Given $\theta_i$ satisfying \eqnref{cantor},
  |Angenommen, dass $\theta_i$, das \eqnref{cantor} erfüllt, konstruiert ist.>
  \\\\<exactly as in the proof of QE for DLO,
  |Genau wie im Beweis von QE für DLO lässt>
  $\theta_i$ \<extends to|sich zu> $\theta_i' : \M \dasharrow \N$ <|with|>
  $m_i (- \dom{\theta_i}'$\<;| erweitern.>
  \\\\<similarly,
  |Ähnlich lässt>
  $(\theta_i')^{-1} : \N \dasharrow \M$ \<extends to|sich zu> $\theta_i'' : \N 
  \dasharrow \M$ <|with|> $n_i (- \dom{\theta_i}''$\<;| erweitern.>
  \\\\<then|Dann> $\theta_{i+1} := (\theta_i'')^{-1} : \M \dasharrow \N$
  \<satisfies|erfüllt> \eqnref{cantor}.

  \<Then|Dann ist> $\theta := \bigcup_i \theta_i : \M -~=-> \N$ \<is an 
  isomorphism|ein Isomorphismus>.
  .

Theorem|Satz{vaughtCrit}[Vaughts \<Criterion|Kriterium>]:
  \<If an $\L$-theory $T$ has no finite models
  and is $\kappa$-categorical for some
  |Sei $T$ eine $\L$-Theorie, die kein endliches Modell besitzt
  und $\kappa$-kategorisch ist, wobei>
  $\kappa >= |\L| + \aleph_0$\<, then $T$ is complete.
  |. Dann ist $T$ vollständig.>
  .

Proof:
  \<Let|Seien> $\M,\N |= T$.
  \<Both|Beide> $\M$ <|and|> $\N$ \<are infinite|sind unendlich>.
  \<By Theorem~{LS},|Nach Satz~{LS}>
  \<there are|gibt es> $\M' == \M$ <|and|> $\N' == \N$ <|with|>
  $|\M'| = \kappa = |\N'|$.
  \<By|Nach> $\kappa$-<|categoricity|>
  $\M' ~= \N'$.
  <|Hence|> $\M == \N$.
  .

Notation:
  \<For $T$ a complete $\L$-theory, we set
  |Für $T$ eine vollständige $\L$-Theorie setzen wir>
  $$|T| := |\L| + \aleph_0 \<,|.>$$
  \<being the cardinality of the set of all $\L$-sentences.
  |Das ist die Mächtigkeit der Menge aller $\L$-Aussagen ist.>
  .

# \<Types|Typen>

Definition:--
  <|Let|> $n (- \omega$\<, and let $x_1,...,x_n$ be a tuple of distinct 
  variables.
  | und sei $x_1,...,x_n$ ein Tupel von verschiedenen Variablen.>
  
  ***) \<Let $\M$ be an $\L$-structure.|Sei $\M$ eine $\L$-Struktur.>
  \<The #type# (in variables $\x$) of a tuple
  |Der #Typ# (in Variablen $\x$) eines Tupels> $\b (- \M^n$ in $\M$ <|is|>
  $$ \tp^\M(\b) := \{ \phi(\x) : \M |= \phi(\b);\; \phi(\x)
  \text{ \<an|eine> $\L$-<|formula|>} \} .$$

  ** \<A #type# is the type of some tuple in some structure
  |Ein #Typ# ist der Typ eines Tupels in einer Struktur.>

  **\<A #partial# #type# is a subset of type.
  |Ein #partieller# #Typ# ist eine Teilmenge eines Typs.>

  ** \<Let $T$ be a consistent $\L$-theory.
  |Sei $T$ eine konsistente $\L$-Theorie.>
  \<The set of \defn{$n$-types in $T$}|Die Menge von \defn{$n$-Typen in $T$}>
  <|is|>
  $$ S_n(T) := \{ \tp^\M(\b) : \M |= T;\; \b (- \M^n \} .$$

  (\<Technically, this should be written as $S_{\x}(T)$ as it depends on the 
  choice of variables $\x$ and not just on $n$. But ``$S_n$'' is traditional.
  |Eigentlich sollte dies als $S_{\x}(T)$ geschrieben werden, weil es von der 
  Wahl von den Variablen $\x$ und nicht nur von $n$ abhängt. Aber ``$S_n$'' 
  ist traditionell.>)

  ** \<If $A$ is a subset of a structure $\M$ and
  |Sei $A$ eine Teilmenge einer Struktur $\M$ und>
  $\b (- \M^{<\omega}$\<,|.>
  \<the type of $\b$ #over# $A$ is
  |Der Typ von $\b$ \defn{über} $A$ ist>
  $$ \tp^\M(\b / A) := \tp^{\M_A}(\b) (- S_n(\Th(\M_A)).$$

  ** <|Let|> $S_n^\M(A) := S_n(\Th(\M_A))$.

  ** \<We write $S(T)$ for the set of all types (in arbitrary free variables) 
  in $T$,
  and $S^\M(A)$ for the set of all types over $A (= \M$.
  |Wir schreiben $S(T)$ für die Menge aller Typen (in beliebigen freien 
  Variablen) in $T$,
  und $S^\M(A)$ für die Menge aller Typen über $A (= \M$.>
  *e)*
  .

Lemma{typesCons}:
  \<A set of|Eine Menge von> $\L$-<|formulas|> $\Phi(\x)$ \<is a partial type 
  iff it is finitely satisfiable, i.e.
  |ist ein partieller Typ genau dann, wenn sie endlich erfüllbar ist, d.h.:>
  \<for every finite subset|Für jede endliche Teilmenge> $\Phi_0 (= \Phi$
  \<there exist an|gibt es eine> $\L$-<|structure|> $\M$\< such that|, sodass> 
  $\M |= \exists \x\. //\\_{\psi (- \Phi_0} \psi(\x)$.

  \<A partial type|Ein partieller Typ> $\Phi(\x)$ \<is a type iff for 
  every|ist ein Typ genau dann, wenn für jede> $\L$-<|formula|> $\psi(\x)$\<, 
  either| entweder> $\psi(\x) (- \Phi(\x)$ <|or|> $\neg\psi(\x) (- 
  \Phi(\x)$\<.| gilt.>

  \<So types in $T$ are precisely /maximal/ /consistent/
:::(= finitely satisfiable in models of $T$) sets of formulas in a given tuple 
of variables.
  |Insbesondere sind Typen in $T$ genau die /maximalen/ /konsistenten/
:::(= endlich erfüllbaren in Modelle von $T$) Mengen von Formeln in einem 
bestimmten Tupel von Variablen.>
  .
Proof:
  \<Compactness|Kompaktheit>.
  .

Definition:
  $S_n(T)$ \<is a topological space with basis of open sets
  |ist ein topologischer Raum mit Basis offener Mengen>
  $\{ [\phi] : \phi(\x) \text{ an $\L$-formula} \}$,
  <|where|>
  $[\phi] := \{ p (- S_n(T) : \phi (- p \} (= S_n(T)$.
  .

Fact|Fakt{stone}:
  $S_n(T)$ \<is a /Stone/ /space/,
  i.e. it is compact Hausdorff and totally disconnected.
  |ist ein /Stone-Raum/,
  das heißt, das es kompakt Hausdorff und total unzusammenhängend ist.>
  .
Proof:
  <|Exercise|> 4.
  .

Example|Beispiel[\<Types|Typen> in $\DLO$]:
  $\DLO$ \<has|besitzt> QE\<, so if|. Daher, wenn> $\M |= \DLO$ <|and|> $\b (- 
  \M^{<\omega}$, \<|ist>
  $\tp^\M(\b/A)$ \<is determined by the basic|durch die basic> 
  $\L_<(A)$-<|formulas|>\< satisfied by $\b$.|, die $\b$ erfüllt, bestimmt.>

  ***) $S_1(\DLO)$:
  \<the only consistent basic formula in one variable $x$ is $x=x$, so
  |Die einzige konsistent basic Formel in einer freien Variable $x$ ist $x=x$. 
  Daher> $|S_1(\DLO)| = 1$.

  ** $S_2(\DLO)$ \<consists of the three types implied|besteht aus die drei 
  Typen, die sind> (modulo $\DLO$) \<respectively by|jeweils durch> $x<y$, 
  $x=y$, <|and|> $y<x$\<.| bestimmt>

  ** $|S_n(\DLO)| < \aleph_0$.

  ** $S_1^\Q(\Z)$ \<consists of the types implied by|besteht aus den Typen 
  bestimmt durch>
    ***) $x=n$ (\<some|ein> $n (- \Z$);
    ** $n < x < n+1$ (\<some|ein> $n (- \Z$);
    ** $\{ x < n : n (- \Z \}$;
    ** $\{ x > n : n (- \Z \}$.
    *e)*

  ** \<More generally, consider|Allgemeiner betrachten wir> $p(x) = S_1(A)$, 
  <|where|> $A (= \M |= \DLO$.

  <|If|> $x = a (- p(x)$ \<for some|für ein> $a (- A$, \<then $x=a$ implies 
  $p$.|bestimmt $x=a$ den Typ $p$.>

  \<Else, let|Sonst seien>
  $L := \{ a (- A : a < x (- p \}$ <|and|>
  $R := \{ a (- A : a > x (- p \}$.
  <|Then|> \<|ist> $(L,R)$ \<is a #cut# in|ein #Schnitt# in> $A$,
  \<i.e.|d.h.,> $L \dotcup R = A$ \<and for all|und für alle> $l (- L$ 
  <|and|> $r (- R$\<,|>
  \<we have|gilt> $l < r$.
  <|Then|> \<|ist> $p(x)$ \<is implied by|durch> $\{ l < x : l (- L \} \cup \{ 
  x < r : r (- R \}$\<| bestimmt>.

  \<Conversely, if|Wenn umgekehrt> $(L,R)$ \<is a cut,|ein Schnitt ist, ist> 
  $\{ l < x : l (- L \} \cup \{ x < r : r (- R \}$ \<is finitely satisfiable, 
  so implies a type in|endlich erfüllbar und bestimmt daher einen Typ in> 
  $S_1(A)$.

  ** \<e.g.|Z.B.:> $S_1^\Q(\Q)$ \<is in bijection with|ist in Bijektion mit> 
  $\R \cup \{-\infty,+\infty\}$ (\<but the topology is certainly not the 
  Euclidean topology!%
  |Aber die Topologie ist gewiss nicht die Euklidische Topologie!>).
  *e)*
  .

Definition:
  \<For $\Phi(\x)$ a set of $\L$-formulas and $\c$ an {$|\x|$}-tuple of 
  constants,
  |Für $\Phi(\x)$ eine Menge von $\L$-Formeln und $\c$ ein {$|\x|$}-Tupel von 
  Konstanten>
  $$ \Phi(\c) := \{ \phi(\c) : \phi(\x) (- \Phi(\x) \} .$$
  <|If|> $\y$ \<is a|ein> $|\x|$-<|tuple|> \<of variables|von Variablen ist>,
  \<we define|definieren wir ähnlich> $\Phi(\y)$\< similarly|>.
  .

Remark|Bemerkung:
  <|Let|> $T$ \<be a consistent|eine konsistente> $\L$-<|theory|>.

  ***) $S_0(T)$ \<consists of the completions of|besteht aus den 
  Vervollständigungen von> $T$.

  ** \<The map|Die Abbildung> $S_n(T) --> S_0(T');\; p(\x) |-> p(\c)$ \<is a 
  homeomorphism|ist ein Homöomorphismus>, <|where|> $\c$
  \<is an $n$-tuple of new constants and
  |ein $n$-Tupel von neuen Konstanten ist>
  <|and|> $T'$ \<is the|die> $\L(\c)$-<|theory|>\< consisting of the same 
  sentences as $T$.
  |, die aus den gleichen Aussagen wie $T$ besteht, ist.>
  *e)*
  .

Remark|Bemerkung:
  <|Let|> $A (= \M$ \<be a subset of an|eine Teilmenge einer> $\L$-<|structure|> $\M$.

  <|If|> $\N$ \<is another|eine andere> $\L$-<|structure|>\< containing $A$|, 
  die $A$ enthalt, ist>
  <|and|> $\N_A == \M_A$
  (\<e.g.|Z.B.> <|if|> $\N >~ \M$)\< then|, gilt>
  $S_n^\N(A) = S_n^\M(A)$.

  \<We often just write|Wir schreiben oft> $S_n(A)$ <|for|> $S_n^\M(A)$.
  .


Definition:--
  <|Let|> $\Phi(\x)$ \<a set of formulas|eine Menge von Formeln>.
  ***)
  %\<Let|Seien> $\pi(\x)$ <|and|> $\pi'(x)$ \<be partial types|partielle 
  %Typen>.
  %\<We write|Dann> $$ \pi(\x) |- \pi'(\x) $$
  %\<to mean that if we add new constants $\c$, then
  %|bedeutet, dass wenn wir neue Konstanten $\c$ hinzufügen, gilt>
  %$\pi(\c) |- \phi'(\c)$ \<for every|für jede Formel> $\phi'(\x) (- 
  %\pi'(\x)$.

  <|If|> $\a (- \M$, \<we write|bedeutet>
  $$ \a |= \Phi \<|,>$$
  \<to mean|dass>
  $$ \M_{\a} |= \Phi(\a) .$$
  \<Then|Dann heißt> $\a$ \<is called a #realisation# of the partial type|eine 
  #Realisierung# vom partiellen Typ> $\Phi$.

  ** \<We write|Wir schreiben> $$ \Phi(\x) |-_T \Phi'(\x) \<|,>$$
  \<to mean that|falls>
  $$ \Phi(\c) |-_T \Phi'(\c) ,$$
  <|where|> $\c$ \<is a|ein> $|\x|$-<|tuple|>
  \<of new variables|von neuen Variablen ist>.
  \<Equivalently|Dazu äquivalent,>
  \<for any|für jedes Modell> $\M |= T$
  <|and|> $\a (- \M^{|\x|}$
  $$ \a |= \Phi(\x) \; ==> \; \a |= \Phi'(\x) .$$

  \<We write e.g.|Wir schreiben z.B.> $\phi |-_T \Phi$ \<to mean|statt> 
  $\{\phi\} |-_T \Phi$.
  %\<We define similarly|Wir definieren ähnlich>
  %$\pi |- \phi$ <|and|> $\phi |- \pi$ <|and|> $\phi |- \psi$ <|and|> $\a |= 
  %\phi$, <|where|> $\phi(\x)$ <|and|> $\psi(\x)$ \<are 
  %$\L$-formulas|$\L$-Formeln sind>.
  *e)*
  .


%Definition:
%  The \defn{quantifier-free type} of $\b (- \M^{<\omega}$ is
%  the partial type $\qftp^\M(\b)$ consisting of the quantifier-free formulas 
%  in $\tp^\M(\b)$.
%  .
%
%Lemma:
%  Let $T$ be a consistent theory with QE.
%  Then for any $\M |= T$ and $\b (- \M^{<\omega}$ and $A (= \M$,
%  $$ \qftp(\b/A) |-_T \tp(\b/A) .$$
%  .

Definition:
  $\M |= T$ \defn{\<realises|realisiert>} \<a set of formulas|eine 
  Formelmenge> $\Phi$ in $T$,
  <|if|> \<some|ein> $\b (- \M^n$ \<is a realisation of $\Phi$|eine 
  Realisierung von $\Phi$ ist>.

  <|If|> $\M$ \<does not realise $\Phi$|realisiert $\Phi$ nicht>,
  \<$\M$ #omits# $\Phi$|\defn{vermeidet} $\M$ die Formelmenge $\Phi$>.
  .

Definition:
  \<A type|Ein Typ> $p(\x) (- S_n(T)$ <|is|> \defn{\<isolated|isoliert>}\<|,>
  \<if there is|wenn es> $\phi(\x) (- p(\x)$
  \<such that|gibt, sodass> $\phi(\x) |-_T p(\x)$.
  \<We say then that|Dann sagen wir, dass> $\phi$ \<\defn{isolates} $p$.
  |den Typ $p$ \defn{isoliert}>.
  .

Lemma:
  %``\<Isolated types are always realised%
  %|Isolierte Typen sind immer realisiert>''.

  <|Let|> $T$ \<be a complete theory|eine vollständige Theorie sein>.
  \<Let|Seien> $p (- S_n(T)$ \<be isolated|isoliert> <|and|> $\M |= T$.
  \<Then $\M$ realises|Dann realisiert $\M$ den Typ $p$>.
  .
Proof:
  <|Let|> $\phi(\x) (- p(\x)$ <|with|> $\phi(\x) |-_T p(\x)$.
  <|Since|> $p$ \<is finitely satisfiable|endlich erfüllbar ist> (\<by|Nach> 
  Lemma~{typesCons}) <|and|> $T$ \<is complete|vollständig ist>,
  \<we have|gilt> $T |= \exists \x\. \phi(\x)$.
  \<So say|Sei somit> $\b (- \M^{|\x|}$ <|with|> $\M |= \phi(\b)$.
  <|Then|> $\b |= p$.
  .

Example:
  <|Let|> $K |= \ACF$ <|and|> $F (= K$ \<a subfield|einen Unterkörper>.
  <|Let|> $p(x) (- S_1(F)$.
  <|Since|> $\ACF$ \<has QE,|QE besitzt, ist>
  $p$ \<is determined by the polynomial equations over $A$ it implies, i.e. by
  |durch die impliziert durch $p$ Polynomgleichungen über $A$ bestimmt, d.h. 
  durch>
  $$ I_p := \{ f(X) (- F[X] : f(x) .= 0 (- p \} .$$
  \<This is an ideal|Dies ist ein Ideal>: $I_p <|= F[X]$.
  \<Moreover it is a prime ideal|Außerdem ist es ein Primideal>, \<i.e.|d.h.:> 
  $f\cdot g (- I_p ==> (f (- I_p \text{ <|or|> } g (- I_p)$.
  \<Indeed, take a realisation|In der Tat: sei eine Realisierung> $a (- K' >~ 
  K$; \<then if|wenn> $(f\cdot g)(a) = 0$\< then|, gilt> $f(a)\cdot g(a) = 
  0$\<, so| und somit> $f(a) = 0$ <|or|> $g(a) = 0$
  (<|since|> $K'$ \<is an integral domain|eine Integrätsbereich ist>).

  \<Now|Nun weil> $F[X]$ \<is a principal ideal domain|ein Hauptidealring 
  ist>,
  \<so|gilt> $I_p = m_p\cdot F[X]$ \<for some prime|für ein Primelement> $m_p 
  (- F[X]$.
  <|If|> $m_p = 0$, \<|ist> $p$ \<is the type of a transcendental element over 
  |der Typ eines transzendenten Elements über>
  $F$\<,|.>
  \<and|Dann könnte> $p$ \<might not be realised in|nicht in> $K$ 
  \<|realisiert werden> ($K$ \<could be|könnte> $F^{\"alg}$\<| sein>).
  \<Else,|Sonst ist> $p$ \<is an /algebraic/ type, and it is isolated by
  |ein /algebraischer/ Typ und ist durch>
  $m_p(x) .= 0$\<,| isoliert> \<and is realised in every algebraically closed 
  field extension of $F$.
  |und ist in jeder algebraischen abgeschlossenen Körpererweiterung von $F$ 
  realisiert.>

  \<Now consider|Betrachte nun> $p (- S_n(F)$, <|where|> $n >= 1$.
  \<As above,|Wie vorher ist>
  $$ I_p := \{ f(\X) (- F[\X] : f(\x) .= 0 (- p \}$$
  \<is a prime ideal in|ein Primideal in> $F[\X]$.

  \<Conversely, if|Umgekehrt: Wenn> $I <|= F[\X]$ \<is a prime ideal|ein 
  Primideal ist>,
  \<then|ist> $R := F[\X]/I$ \<is an integral domain|eine Integrätsbereich>.
  <|Let|> $K' )= F$ \<be an algebraic closure of the fraction field of|ein 
  algebraischer Abschluss des Quotientenkörpers von> $R$\<,|>
  \<and let|und sei> $a_i := X_i / I (- K'$.
  <|Let|> $p := \tp^{K'}(\a/F)$.
  <|Then|> $I_p = I$.

  \<So|Somit ist> $p |-> I_p$ \<is a bijection|eine Bijektion> $S_n(F) --> 
  \"Spec(F[\X])$, <|where|> $\"Spec(F[\X])$ \<is the set of prime ideals 
  of|die Menge alles Primideals von> $F[\X]$\<| ist>.
  (\<This map is continuous if|Diese Abbildung ist stetig, wenn das Spektrum> 
  $\"Spec(F[\X])$ \<is equipped with its usual Zariski topology|seine gewöhnte 
  Zariskitopologie hat>, \<but is not a homeomorphism|aber sie ist kein 
  Homöomorphismus>.)

  \<We can also think about this in terms of naive algebraic geometry.
  |Wir können auch denken an dies in Bezug auf naive algebraische Geometrie.>
  <|If|> $F$ \<is a subfield of an algebraically closed field $K$,
  |ein Unterkörper eines algebraischen abgeschlossenen Körpers $K$ ist,>
  \<a /closed/ /algebraic/ /subset/ of|ist eine /abgeschlossene/ 
  /algebraische/ /Teilmenge/ von> $K^n$ <|over|> $F$
  % following the definitions of Mumford; avoiding calling them affine 
  % varieties, so as not to conflict with less naive definitions
  \<is the common zero set|die gemeinsame Nullstelle> $V = V(I) (= K^n$
  \<of an ideal|eines Ideals> $I <|= F[\X]$.
  $V$ \<is /irreducible/ if it is not the union of two proper closed algebraic 
  subsets over $F$; equivalently, if $I$ is a prime ideal.
  |heißt /irreduzible/, wenn es nicht die Vereinigung zweier echter 
  abgeschlossener algebraischer Teilmengen über $F$ ist; dazu äquivalent, wenn 
  $I$ ein Primideal ist.>
  \<A point|Ein Punkt> $\a (- V$ \<is /generic/ (over $F$) if it is contained 
  in no proper closed algebraic subset over $F$.
  |heißt /generisch/ (über $F$), wenn es in kein echten abgeschlossenen 
  algebraischen Teilmenge ist.>
  \<Then|Dann gilt> $\tp(\a/F) = p_{I_p}$\<, and conversely any|. Umgekehrt: 
  jeden Typ> $p (- S_n(F)$ \<is of this form for some|ist von diese Form für 
  ein> $\a (- K^n$ \<for some|für ein> $K$ (\<e.g. by considering|z.B. durch 
  Betrachtung von> $F[\X]/I_p$ \<as above|wie vorher>).
  \<In other words: the types in $\ACF$ are precisely the types of generics of 
  irreducible closed algebraic sets.
  |Mit anderen Worten: Die Typen in $\ACF$ sind genau die Typen generischer 
  Elemente irreduzibler abgeschlossener algebraischer Teilmengen.>

  \<Finally, consider an arbitrary subset $A (= K$.
  |Schließlich: Betrachte eine beliebige Teilmenge $A (= K$.>
  <|Let|> $F <= K$ \<be the subfield generated by $A$.
  |der Unterkörper, den $A$ erzeugt.>
  \<Then a type over $A$ determines a type over $F$.
  |Dann bestimmt ein Typ über $A$ einen Typ über $F$.>
  \<In other words, the restriction map
  |D.h.: Die Einschränkung-Abbildung> $S_n(F) --> S_n(A)$ \<is a bijection|ist 
  eine Bijektion>.
  .

## \<Saturation|Saturiertheit>

Lemma{constCons}[``\<Joint Consistency|Gemeinsame Konsistenz> \<for Constants|für Konstanten>'']:
  <|Let|> $T$ \<be a complete|eine vollständige> $\L$-<|theory|>.
  <|For|> $i (- I$ <|let|> $C_i$ \<be a set of constants,|eine Menge von 
  Konstanten ist>
  \<and suppose|mit> $C_i \cap C_j = {} = C_i \cap \L$ <|for|> $i/=j$.
  <|Let|> $T_i )= T$ \<be a consistent|eine konsistent> $\L\cup 
  C_i$-<|theory|>.
  \<Then|Dann ist> $\bigcup_{i (- I} T_i$ \<is consistent|konsistent>.
  .
Remark|Bemerkung:
  \<In fact this holds if we add new relations and functions too.
  |In Fakt gilt dies, wenn wir auch neue Relationszeichen und/oder 
  Funktionszeichen hinzufugen.>
  \<This is known as|Dies ist> ``Robinson's Joint Consistency Theorem''
  (\<a proof can be found in|> Chang\&Keisler\<| enthält einen Beweis>).
  .
Proof:
  <|If|> $\bigcup_{i (- I} T_i$ \<is inconsistent|inkonsistent ist,>
  \<then by compactness|ist nach Kompaktheit> $T \cup \{ \phi_i(\c_i) : i (- 
  I_0 \}$ \<is inconsistent|inkonsistent,> <|where|> $I_0 (= I$ \<is 
  finite|endlich ist>
  <|and|> $T_i |= \phi_i(\c_i)$ <|and|> $\c_i (- C_i^{<\omega}$.
  <|WLOG|> $I_0 = \{1,2,...,n\}$.

  \<But then|Dann> $T |= \forall \x_1,...,\x_n\. \neg //\\_{1<=i<=n} 
  \phi_i(\x_i)$
  \<with the|mit> $\x_i$ \<disjoint tuples|disjunkt Tupeln>.

  <|Then|> $T |= \forall \x_1,...,\x_n\. \\//_{1<=i<=n} \neg \phi_i(\x_i)$.

  <|Then|> $T |= \\//_{1<=i<=n} \forall \x_i\. \neg \phi_i(\x_i)$.
  \<So|Damit ist> $T \cup \{ \phi_i(\c_i) \}$ \<is inconsistent|inkonsistent> 
  \<for some|für eines> $i$.
  \<This contradicts consistency of $T_i$.
  |Dies widerspricht die Konsistenz von $T_i$.>
  .

Lemma{realiseAll}:
  \<Given $\M$ an infinite $\L$-structure and
  |Sei $\M$ eine unendliche $\L$-Struktur und>
  $A (= \M$\<,|.>
  \<there exists|Dann gibt es> $\N >~ \M$\< which realises every|, das jeden 
  Typ>
  $p (- S(A)$\<,| realisiert>.
  %\<with|und Mächtigkeit> $|\N| = |X| + |\M| + |\L|$\<.| besitzt.>
  .
Proof:
  \<For each|Für jede> $n >= 1$ \<and each|und jeden> $n$-\<type|Typ> $p (- 
  S(A)$\<,|> <|let|> $\c_p$ \<be a new tuple of constants with|ein Tupel von 
  neuen Konstanten mit> $|\c_p| = n$.
  
  \<We must show|Wir müssen zeigen, dass> $T' := \Th(\M_\M) \cup \bigcup_{p (- 
  S(A)} p(\c_p)$ \<is consistent|konsistent ist>.

  \<By definition of|Nach der Definition von> $S(A)$\<, each| ist jede> 
  $\Th(\M_A) \cup p(\c_p)$ \<is consistent|konsistent>.
  \<Also|Auch ist> $\Th(\M_\M) )= \Th(\M_\A)$ \<is consistent|konsistent>.
  \<So|Somit ist> $T'$ \<is consistent by|konsistent nach> Lemma~{constCons}.

  %\<By|Nach> Löwenheim-Skolem\<,| besitzt> $T'$ \<has a model of the required 
  %size|ein Modell der gewünschten Mächtigkeit>.
  .

Definition:
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$ \<is|heißt> 
  \defn{$\kappa$-<|saturated|>}\<|,>
  <|if|> \<for any|für jede Teilmenge> $A (= \M$ <|with|> $|A| < \kappa$
  \<every|jedes> $p (- S_1(A)$ \<is realised in $\M$|in $\M$ realisiert ist>.

  $\M$ \<is|heißt> \defn{<|saturated|>},
  <|if|> \<it is|es> $|\M|$-<|saturated|>\<| ist>.
  .

Example|Beispiel:
  $(\Q;<)$ <|is|> $\aleph_0$-<|saturated|>.

  $\Qalg |= \ACF$ <|is|> \<not|nicht> $\aleph_0$-<|saturated|>
  (\<since it omits the transcendental type in|Da vermeidet es den 
  transzendente Typ in>
  $S_1({})$).
  .

Lemma:
  <|If|> $\M$ <|is|> $\kappa$-<|saturated|>,
  \<for any|ist für jede Teilmenge> $A (= \M$ <|with|> $|A| < \kappa$
  <|and|> \<every|jedes> $n >= 1$\<,|>
  \<every|jedes> $p (- S_n(A)$ \<is realised in $\M$|in $\M$ realisiert>.
  .
Proof:
  \<By induction on|Durch Induction über> $n$.

  Sei $p(x_1,...,x_n,y) (- S_{n+1}(A)$.
  Setze $q(x_1,...,x_n) := \{ \phi(x_1,...,x_n) : \phi (- p \} (- S_n(A)$.
  \<Inductively, $q$ is realised in $\M$
  |Aus der Induktionsvoraussetzung ist $q$ in $\M$ realisiert>.
  \<Say|Sei> $\a (- \M^n$ <|with|> $\a |= q$.

  \<Now|Nun ist> $p(\a,y) = \{ \phi(\a,y) : \phi (- p \} (- S_1^\M(A \cup 
  \{a_1,...,a_n\})$;
  \<Indeed,|in der Tat:>
  \<If|Sei> $\Phi_0(\x,y) (=f p(\x,y)$ \<is a finite subset,
  |eine endliche Teilmenge.>
  \<Since|Weil> $\tp^\M(a/A) = q(\x) -) \exists y\. //\\_{\phi (- \Phi_0} 
  \phi(\x,y)$,
  \<we have|gilt>
  $\M |= \exists y\. //\\_{\phi (- \Phi_0} \phi(\a,y)$.

  \<Hence (since|Daher (Weil> $|A| + n < \kappa$) \<some|gibt es> $b (- \M$
  <|with|> $b |= p(\a,y)$
  <|and|> \<then|somit> $(\a,b) |= p(\x,y)$.
  .

Lemma{conjPE}:
  \<Suppose|Seien> $\theta : \M \dasharrow \N$ \<is partial 
  elementary|partiell elementar>
  <|and|> $A (= \dom{\theta}$
  <|and|> $p(\x) (- S^\M(A)$.

  ***(i) \<The #conjugate# of|Die #Konjugierte# von> $p$ \<by|durch> $\theta$
    $$ p^\theta(\x) := \{ \phi(\x,\theta(\a)) : \phi(\x,\a) (- p(\x);\; \phi 
    \text{ \<a|eine> $\L$-<|formula|>}\} $$
    \<is a type|ist ein Typ> $p^\theta (- S^\N(\theta(A))$.
  **(ii)
    <|For|> $b (- \M$\<,|>
    \<an extension|eine Erweiterung> $\theta'$ \<of|von> $\theta$ <|with|>
    $\dom{\theta}' = \dom{\theta} \cup \{b\}$
    \<is partial elementary iff|ist partiell elementar genau dann, wenn>
    $\theta'(b) |= \tp(b/\dom{\theta})^\theta$.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i) <|For|> \<a finite subset|eine endliche Teilmenge> $\Phi_0(\x) (=f 
  p(\x)$,
    \<write|schreibe> $//\\ \Phi_0$ \<as|als> $\psi(\x,\a)$, <|where|> $\psi$ 
    \<is an|eine> $\L$-<|formula|> \<and|ist und> $\a (- A^{<\omega}$.
    <|Then|> $\M |= \exists \x\. \psi(\x,\a)$.
    \<So by elementarity,|Nach Elementarität>
    $\N |= \exists \x\. \psi(\x,\theta(\a))$.
  **(ii)
    \<Immediate|Sofort>.
  *ee*
  .

Lemma{satIsom}:
  <|If|> $\M == \N$ <|and|> $|\M| = |\N| >= \aleph_0$
  <|and|> \<|beide> $\M$ <|and|> $\N$ \<are both saturated|saturiert sind>,
  \<then|gilt> $\M ~= \N$.
  .
Proof:
  \<Back-and-forth|Hin-und-her>.

  \<Let|Seien> $\M = (m_\alpha)_{\alpha (- \lambda}$ <|and|> $\N = (n_\alpha)_{\alpha (- 
  \lambda}$.
  \<We recursively construct a chain of partial isomorphisms
  |Wir bauen rekursiv eine Kette von partiellen elementaren Abbildungen>
  $\theta_\alpha : \M \dasharrow \N$ <|for|> $\alpha (- \lambda$ \< such 
  that|, sodass>
  Equation{satIsom}:
    \tag{*}
    |\dom{\theta_\alpha}| <= 2\cdot|\alpha| \text{ und
    \<for all|für alle> } \beta<\alpha \text{\<, we have| gilt> }
    m_\beta (- \dom{\theta_\alpha} \text{ <|and|> } n_\beta (- \im{\theta_\alpha}.
    .

  <|Let|> $\theta_0 := {}$.
  <|For|> $\eta$ \<a limit ordinal,|eine Limeszahl>
  <|let|> $\theta_\eta := \bigcup_{\alpha < \eta} \theta_\alpha$.
  \<We have|Wir haben> $|\dom{\theta_\eta}| <= |\eta| = 2\cdot|\eta|$.

  \<Given $\theta_\alpha$ satisfying \eqnref{satIsom},
  |Angenommen, dass $\theta_\alpha$, das \eqnref{satIsom} erfüllt, konstruiert 
  ist.>
  
  \<By saturation,|Nach Saturiertheit ist>
  $\tp(m_\alpha / \dom{\theta_\alpha})^{\theta_\alpha} (- S_1(\im{\theta_\alpha})$ 
  \<is realised in $\N$|in $\N$ realisiert>.

  \<Hence|Daher lässt> $\theta_\alpha$ \<extends to|sich zu> $\theta_\alpha' : 
  \M \dasharrow \N$ <|with|>
  $m_\alpha (- \dom{\theta_\alpha}'$\<;| erweitern.>
  \\\\<symmetrically,
  |Symmetrisch lässt>
  $(\theta_\alpha')^{-1} : \N \dasharrow \M$ \<extends to|sich zu> 
  $\theta_\alpha'' : \N \dasharrow \M$ <|with|> $n_\alpha (- 
  \dom{\theta_\alpha}''$\<;| erweitern.>
  \\\\<then|Dann> $\theta_{\alpha+1} := (\theta_\alpha'')^{-1} : \M \dasharrow \N$
  \<satisfies|erfüllt> \eqnref{satIsom}.

  \<Then|Dann ist> $\theta := \bigcup_\alpha \theta_\alpha : \M -~=-> \N$ \<is an 
  isomorphism|ein Isomorphismus>.
  .

Definition:
  \<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$
  <|is|> $\kappa$-<|universal|>\< if|, wenn>
  \<any|jedes Modell> $\N == \M$ <|with|> $|\N| < \kappa$ \<elementarily 
  embeds in $\M$%
  |elementar in $\M$ einbetten lässt>.
  .
  
Lemma{satUniv}:
  <|Let|> $\M$ \<be an|eine> $\kappa$-\<saturated|saturierte> 
  $\L$-<|structure|>.
  \<Then|Dann ist> $\M$ $\kappa^+$-<|universal|>.
  .
Proof:
  \<Suppose|Sei> $\N == \M$ <|with|> $\lambda := |\N| < \kappa^+$.
  \<Say|Sei> $\N = \{ a_\alpha : \alpha (- \lambda \}$.
  \<We build a chain of partial elementary maps
  |Wir konstruieren eine Kette von partiellen elementaren Abbildungen>
  $\theta_\alpha : \N \dasharrow \M$
  <|with|> $\dom{\theta_\alpha} = A_\alpha := \{ a_\beta : \beta < \alpha \}$.

  <|Set|> $\theta_0 := {}$.
  <|For|> $\eta$ \<a limit ordinal,|eine Limeszahl>
  <|set|> $\theta_\eta := \bigcup_{\alpha < \eta} \theta_\alpha$.

  <|Since|> $|A_\alpha| = |\alpha| < \lambda <= \kappa$,
  \<by $\kappa$-saturation,|ist nach $\kappa$-Saturiertheit> $\tp(a_\alpha / 
  A_\alpha)^{\theta_\alpha}$\< is realised|> in $\M$\<| realisiert>.
  \<Set|Sei> $\theta_{\alpha+1}(a_\alpha)$ \<to be a realisation|eine 
  Realisierung>.
  .
  
%Example: non-principal countable ultrapower in countable lang is 
%$\aleph_1$-saturated.

# \<Countable models of countable theories|Abzählbare Modelle abzählbarer Theorien>

## \<Countable saturated models|Abzählbare saturierte Modelle>

Lemma{elemChain}[\<Tarski's Chain Lemma|Tarskis Ketten-Lemma>]:
  \<If|Seien> $(I;<)$ \<is a linear order|eine lineare Ordnung>
  <|and|> $(\M_i)_{i (- I}$ \<is an elementary chain,|eine elementare Kette>
  \<meaning|(D.h.> $\M_i <~ \M_j$ <|for|> $i<j$\<,|)>
  \<then|Dann> $\M_i <~ \bigcup_{i (- I} \M_i$ <|for|> \<all|alle> $i$.
  .
Proof:
  <|Exercise|> 1.1(b).
  .

Definition:
  \<A theory|Eine Theorie> $T$ \<is #small# if|heißt #schmal#, wenn>
  $|S_n(T)| <= \aleph_0$ <|for|> \<all|alle> $n (- \omega$.
  .

Example|Beispiel:
  $(\Q;<)$ \<ist schmal|is small>.
  $(\Q;<)_{\Q}$ \<ist nicht schmal|is not small>.
  .

Theorem|Satz{satExistSmall}:
  <|Let|> $T$ \<be a countable (i.e.|eine abzählbare (D.h.> $|\L| <= 
  \aleph_0$) \<complete|vollständige> $\L$-<|theory|> <|with|> \<infinite 
  models|unendliche Modelle>.

  \<Then $T$ has a countable saturated model iff $T$ is small.
  |Dann besitzt $T$ ein abzählbares saturiertes Modell genau dann, wenn $T$ 
  schmal ist.>
  .
Proof:
  ***)[$==>$:]
    <|Let|> $n (- \omega$.
    \<Every type in|Jeder Typ in> $S_n(T)$ \<is realised in the countable 
    saturated model,
    |ist im abzählbaren saturierten Modell realisiert.>
    \<so|Daher> $|S_n(T)| <= \aleph_0$.

  **[$<==$:]
    <|If|> $A (=f \M |= T$,
    \<then|gilt> $|S_1(A)| <= |S_{|A|+1}(T)| <= \aleph_0$;
    \<indeed, if|in der Tat: Wenn> $A = \{a_1,...,a_n\}$\< then|, ist>
    $p(x,\a) |-> p(x,\y)$ \<is an injection|eine Injektion>
    $S_1(A) (--> S_{n+1}(T)$.

    \<We build an elementary chain
    |Wir bauen eine elementare Kette>
    $(\M_i)_{i (- \omega}$ \<of countable models|abzählbarer Modelle>.
    <|Let|> $\M_0 |= T$ <|with|> $|\M_0| = \aleph_0$,
    \<which exists by Löwenheim-Skolem|die nach Löwenheim-Skolem existiert>.
    \<Given|Wenn $\M_i$ konstruiert ist>, <|let|> $X := \bigcup_{A (=f \M_i} 
    S_1(A)$.
    <|Then|> $|X| <= \aleph_0$.
    \<So by|Somit durch> Lemma~{realiseAll} <|and|> Löwenheim-Skolem\<,|>
    \<there is a countable model|gibt es ein abzählbares Modell> $\M_{i+1} >~ 
    \M_i$\< which realises all|, die alle> $p (- X$\<| realisiert>.

    \<Now let|Sei nun> $\M := \bigcup_{i (- \omega} \M_i |= T$.
    <|Then|> $|\M| <= \aleph_0$
    <|and|> <|if|> $A (=f \M$, \<then|gilt> $A (=f \M_i$ <|for|> \<some|eines> 
    $i (- \omega$.
    <|Hence|> \<every|alle> $p (- S_1(A)$ \<is realised in|sind in> $\M_{i+1}$ 
    \<and hence in|realisiert, und deshalb sind in> $\M >~ \M_{i+1}$\<| 
    realisiert>.
  *e)*
  .

## \<Omitting types|Typenvermeidung>

Definition:
  \<Let $T$ be a consistent $\L$-theory|Sei $T$ eine konsistente 
  $\L$-Theorie>.
  ***)
  \<A|Eine> $\L$-<|formula|> $\phi(\x)$ \<is #consistent# (with|heißt 
  #konsistent# (mit> $T$), \<if|wenn>
  $T |/= \neg \exists x\. \psi(\x)$.

  ** \<A set of formulas|Ein Formelmenge> $\Phi(\x)$ in $T$ \<is #isolated# if 
  there exists a consistent|heißt #isoliert#, wenn es eine konsistente 
  $\L$-Formel> $\phi(\x)$\< s.t.|, sodass>
  $\phi(\x) |-_T \Phi(\x)$.
  *e)*
  .

%Lemma{isolByCons}:
%  Let $T$ be a consistent $\L$-theory.
%  Suppose $p(\x) (- S(T)$ is not isolated,
%  and $\psi(\x)$ is an $\L$-formula which is consistent with $T$,
%  i.e. $T |= \exists x\. \psi(\x)$.
%  Then there exists $\phi (- p$ such that
%  $T |= \exists x\. (\psi(\x) /\ \neg\phi(\x))$.
%  .
%Proof:
%  Otherwise, $\psi(\x) |-_T p(\x)$.
%  Now since $\psi(\x)$ is consistent with $T$,
%  $\psi(\x) |/-_T \neg\psi(\x)$,
%  and so $\neg\psi(\x) (/- p(\x)$.
%  Hence $\psi(\x) (- p(\x)$, and $\psi$ isolates $p$.
%  .

%Theorem|Satz{omittingTypes}[\<Omitting Types Theorem|Typenvermeidungssatz>]:
%  Suppose $p (- S_1(T)$ is not isolated.
%  Then there exists a countable model $\M |= T$ which omits $p$.
%  .
%Proof:
%  Let $C = \{ c_i : i < \omega \}$ be a set of new constants.
%
%  Enumerate the $\L(C)$-formulas in $x$ as $(\psi_i(x) : i < \omega)$.
%
%  We construct an increasing chain $(\Sigma_i)_{i (- \omega}$ of sets of 
%  $\L(C)$-sentences such that
%  ***(i) $|\Sigma_i| < \aleph_0$;
%  **(ii) $T_i := T \cup \Sigma_i$ is consistent;
%  **(iii) for all $j < i$, there is $c (- C$ such that
%  $T_i |= \exists x\. \psi_j(x) --> \psi_j(c)$;
%  **(iv) for all $j < i$, there is $\phi_j(x) (- p(x)$ such that
%  $T_i |= \neg \phi_j(c_j)$.
%  *ee*
%  
%  Let $\Sigma_0 := {}$.
%  Suppose $\Sigma_i$ satisfies (i)-(iv).
%
%  Say $c (- C$ does not appear in $\Sigma_i$ nor in $\psi_i$,
%  and let $\Sigma_{i+1}' := \Sigma_i \cup \{ \exists x\. psi_i(x) --> 
%  \psi_i(x) \}$.
%  Note that $T \cup \Sigma_{i+1}'$ is consistent.
%  
%  Let $\delta(x,\y)$ be such that $//\\ \Sigma_{i+1}' = \delta(c_i,\c)$ where 
%  $\c (- (C \\ \{c_i\})^{<\omega}$.
%  Now $T |= \exists x\. \exists \y\. \delta(x,\y)$,
%  so by Lemma~{isolByCons} there is $\phi_i(x) (- p(x)$ such that
%  Equation{omitICons}:
%    \tag{*}
%    T |= \exists x\. (\exists \y\. \delta(x,\y) /\ \neg \phi_i(x)) .
%    .
%  Let $\Sigma_{i+1} := \Sigma_{i+1}' \cup \{\neg \phi_i(c_i)\}$.
%  Then $T \cup \Sigma_{i+1}$ is consistent by \eqnref{omitICons}.
%
%  Now let $T_\omega := T \cup \bigcup_{i (- \omega} \Sigma_i$.
%  This is consistent by (ii), so let $\M |= T_\omega$.
%  By (iii) and Tarski's test, $\{ c^\M : c (- C \}$ is the domain of a 
%  countable elementary substructure $\N <~ \M$.
%  By (iv), $\N$ omits $p$.
%  .

%Remark|Bemerkung:
%  More generally, given countably many non-isolated partial types $\pi_i$ 
%  (where $\pi$ is isolated if $\phi |- \pi$ for some consistent $\phi$)
%  we can find a countable model realising no $\pi_i$.
%  This can be seen as an application of descriptive set theory and the Baire 
%  category theorem.

Theorem|Satz{omittingTypes}[\<Omitting Types Theorem|Typenvermeidungssatz>]:
  \<Let $T$ be a _countable_ consistent theory.
  |Sei $T$ eine _abzählbare_ konsistente Theorie.>

  <|Let|> $(\Phi_k(\x_k))_{k (- \omega}$ \<be non-isolated sets of formulas|
  nicht-isolierte Formelmengen>.
  \<Then there exists a countable model|Dann existiert ein abzählbares Modell> 
  $\M |= T$\< which omits every|, das jedes> $\Phi_k$\<| vermeidet>.
  .
Proof:
  <|Let|> $C = \{ c_i : i < \omega \}$ \<be a set of new constants|eine Menge 
  von neuen Konstanten>.

  \<Enumerate the|Aufzählen die> $\L(C)$-<|formulas|> in $x$ \<as|als> 
  $(\psi_i(x) : i < \omega)$.

  <|Let|> $\xi : \{ (k,\c) : k (- \omega;\; \c (- C^{|\x_k|} \} --> \omega$ 
  \<be a bijection|eine Bijektion>.

  \<We construct an increasing chain|Wir konstruieren eine aufsteigende Kette> 
  $(\Sigma_i)_{i (- \omega}$ \<of sets of|von Menge von> 
  $\L(C)$-<|sentences|>\< such that|, sodass>
  ***(i) $|\Sigma_i| < \aleph_0$;
  **(ii) $T_i := T \cup \Sigma_i$ \<is consistent|ist konsistent>;
  **(iii) \<if|Wenn> $j < i$, \<there is|gibt es> $c (- C$\< such that|, 
  sodass>
  $T_i |= \exists x\. \psi_j(x) --> \psi_j(c)$;
  **(iv) \<if|Wenn> $\xi(k,\c) < i$, \<there is|gibt es> $\phi(\x_k) (- 
  \Phi_k(\x_k)$\< such that|, sodass>
  $T_i |= \neg \phi(\c)$.
  *ee*

  <|Let|> $\Sigma_0 := {}$.
  \<Suppose|Angenommen, dass> $\Sigma_i$ \<satisfies|> (i)-(iv)\<| erfüllt>.

  \<Say|Sei> $c (- C$\< does not appear in|, das in weder> $\Sigma_i$ \<nor 
  in|noch> $\psi_i$\<| vorkommt>,
  \<and let|und setze> $\Sigma_{i+1}' := \Sigma_i \cup \{ \exists x\. 
  \psi_i(x) --> \psi_i(c) \}$.
  \<Note that|Dann ist> $T \cup \Sigma_{i+1}'$ \<is consistent|konsistent>.
  
  \<Say|Sei> $\xi(k,\c) = i$, \<and let|und setze> $\x := \x_k$.
  \<Let|Sei> $\delta(\x,\y)$\< be such that|, sodass>
  $//\\ \Sigma_{i+1}' = \delta(\c,\c')$, <|where|> $\c' (- (C \\ \{ 
  c_1,...,c_{|\x|} \} )^{<\omega}$.
  <|Now|> $T |/= \neg \exists \x\. \exists \y\. \delta(\x,\y)$,
  \<so by non-isolation of|also, weil> $\Phi_k$ \<there is|nicht isoliert ist, 
  gibt es>
  $\phi_i(\x) (- \Phi_k(\x)$\< such that|, sodass>
  Equation{omitICons}:
    \tag{*}
    \exists \y\. \delta(\x,\y) |/-_T \phi_i(\x)) .
    .
  \<Let|Setze> $\Sigma_{i+1} := \Sigma_{i+1}' \cup \{\neg \phi_i(\c)\}$.
  \<Then|Dann ist> $T \cup \Sigma_{i+1}$ \<is consistent by|konsistent nach> 
  \eqnref{omitICons}.

  \<Now let|Setze schleißlich> $T_\omega := T \cup \bigcup_{i (- \omega} 
  \Sigma_i$.
  \<This is consistent by (ii)|Dann ist $T_\omega$ nach (ii) konsistent> 
  (\<since|weil> $(\Sigma_i)_i$ \<is an increasing chain|eine aufsteigende 
  Kette ist>)\<, so let|; sei> $\M |= T_\omega$.
  \<By|Nach> (iii) <|and|> \<Tarski's test,|dem Tarski-Test ist> $\{ c^\M : c 
  (- C \}$ \<is the domain of a countable elementary substructure|die 
  Grundmenge eine aufzählbare elementare Unterstruktur> $\N <~ \M$.
  \<By|Nach> (iv)\<,| vermeidet> $\N$ \<omits each|jedes> $\Phi_k$.
  .

% DST Proof: by considering Henkin constructions / Tarski test,
% the types of countable elementary submodels form a G_\delta subset of 
% S_\omega(T), hence a Polish space, hence not meagre.
% So we can omit a meagre subset of S(T),
% i.e. countable union of nowhere dense;
% equiv, we can omit cble union of closed with empty interior;
% equiv, we can omit cble union of closed containing no basic clopen;
% equiv, we can omit cbly many non-isolated partial types.

## \<Prime models|Primmodelle>

Definition:
  $\M |= T$ \<is a #prime# model of a theory $T$ if it elementarily embeds in 
  any model of $T$.
  |ist ein #primes# Modell (\defn{Primmodell}) von eine Theorie $T$,
  wenn es in jedem Modell von $T$ elementar einbettet.>
  .

Example|Beispiel:
  $(\Z;S)$ \<is a prime model of its theory.
  |ist ein Primmodell von seine Theorie.>

  $(\Q;<)$ \<is a prime model of|ist ein Primmodell von> $\DLO$.
  .
  
Definition:
  \<An|Eine> $\L$-<|structure|> $\M$ \<is #atomic# if|heißt #atomar#, wenn> 
  \<$\tp(\a)$ is isolated for every|der Typ von jedem Tupel> $\a (- 
  \M^{<\omega}$\<| isoliert ist>.
  .

Definition:
  \<A formula|Eine Formel> $\phi(\x)$ \<is an #atom# modulo|heißt #Atom# 
  modulo> $T$\< if it is consistent with|, wenn es konsistent mit> $T$ \<and 
  isolates a type|ist und einen Typ> in $T$\<| isoliert>; 
  \<equivalently,|äquivalent:> \<for no|Für kein> $\psi(\x)$ \<are both|sind 
  beide> $\phi /\ \psi$ <|and|> $\phi /\ \neg \psi$ \<consistent 
  with|konsistent mit> $T$.
  .

Notation:
  $\a\b := (a_1,...,a_{|\a|},b_1,...,b_{|\b|})$.
  .

Lemma{isolTrans}[``\<Monotonicity and transitivity of isolation|Monotonie und Transitivität von Isolierung>'']:
  <|Let|> $\a,\b (- \M^{<\omega}$.
  <|Then|> \<|ist> $\tp(\a\b)$ \<is isolated|isoliert>
  <|iff|> $\tp(\a/\b)$ <|and|> $\tp(\b)$ \<are isolated|isoliert sind>.
  .
Proof:
  $==>$: \<Say|Angenommen>,
  $\phi(\x,\y)$ \<isolates|isoliert> $\tp(\a\b)$.
  <|Then|>
  ***) $\phi(\x,\b)$ <|isolates|> $\tp(\a/\b)$;
  \<indeed,|in der Tat:>
  \<if|Wenn> $\a |= \psi(\x,\b)$\< then|, gilt> $\a\b |= \psi(\x,\y)$,
  \<and so|also gilt> $\phi(\x,\y) |-_T \psi(\x,\y)$,
  \<and so|also gilt> $\phi(\x,\b) |-_{T_\b} \psi(\x,\b)$.
  ** $\exists \x\. \phi(\x,\y)$ <|isolates|> $\tp(\b)$;
  \<indeed,|in der Tat:>
  \<if|Wenn> $\b |= \psi(\y)$\< then|, gilt> $\phi(\x,\y) |-_T \psi(\y)$,
  \<and so|also gilt> $\exists \x\. \phi(\x,\y) |-_T \psi(\y)$.
  *e)*
    
  $<==$: \<Say|Angenommen>,
  $\phi(\y)$ \<isolates|isoliert> $\tp(\b)$
  <|and|> $\xi(\x,\b)$ \<isolates|isoliert> $\tp(\a/\b)$
  (<|where|> $\xi(\x,\y)$ \<is an|eine> $\L$-<|formula|>\<| ist>).

  <|Then|> $\xi(\x,\y) /\ \phi(\y)$ <|isolates|> $\tp(\a\b)$.
  \<Indeed,|In der Tat:> \<if|Wenn> $\a\b |= \psi(\x,\y)$\< then|, gilt>
  $\a |= \psi(\x,\b)$, \<hence|also>
  $\xi(\x,\b) |-_{T_\b} \psi(\x,\b)$, \<hence|also>
  $\b |= \forall \x\. (\xi(\x,y) --> \psi(\x,\y))$, \<hence|also>
  $T |= \forall \y\. (\phi(\y) --> \forall \x\. (\xi(\x,y) --> 
  \psi(\x,\y)))$, \<hence|also>
  $T |= \forall \x,\y\. ((\xi(\x,\y) /\ \phi(\y)) --> \psi(\x,\y)))$.

  % Alternative proof: nicer in principle, but bit clumsy without monsters. 
  %$==>$: \<Say|Nehmen wir an, dass> %FIXME: less clumsy phrasing?
  %$\phi(\x,\y)$ \<isolates|den Typ> $\tp(\a\b)$\<| isoliert>.
  %<|Then|>
  %***) $\phi(\x,\b)$ <|isolates|> $\tp(\a/\b)$:
  %\<if|Wenn> $\a' |- \phi(\x,\b)$\< then|, gilt> $\a'\b == \a\b$\<, hence| 
  %also> $\a' ==_\b \a$.
  %** $\exists \x. \phi(\x,\y)$ <|isolates|> $\tp(\b)$:
  %\<if|Wenn> $\b' |- \exists \x. \phi(\x,\y)$\< then say|, gilt> $\a'\b' |- 
  %\phi(\x,\y)$\<, so| (für ein $\a'$) also> $\a'\b' == \a\b$\<, hence| und 
  %also> $\b' == \b$.
  %*e)*
  %
  %$<==$: \<Say|Nehmen wir an, dass> %FIXME: less clumsy phrasing?
  %$\psi(\y)$ \<isolates|den Typ> $\tp(\b)$
  %<|and|> $\xi(\x,\b)$ \<isolates|den Typ> $\tp(\a/\b)$ \<|isorierten> 
  %(<|where|> $\xi(\x,\y)$ \<is an|eine> $\L$-<|formula|>\<| ist>).
  %<|Then|> $\xi(\x,\y) /\ \psi(\y)$ <|isolates|> $\tp(\a\b)$:
  %\<if|Wenn> $\a'\b' |- \xi(\x,\y) /\ \psi(\y)$,
  %\<then|gilt> $\b == \b'$
  %\<so there exists|und gibt es also> $\a''$ in \<some|ein> $\M' >~ \M$
  %\<such that|so dass> $\a''\b == \a'\b'$.
  %(\<Explicitly|Explizit>: $\theta : \b' |-> \b$ \<is partial elementary|ist 
  %partiell elementar>,
  %\<so take|somit sei> $\a''$ \<realising|eine Realisierung von> 
  %$\tp(\a'/b')^\theta$.)
  %<|Then|> $\a'' |- \xi(\x,\b)$,
  %\<so|also> $\a'' ==_\b \a$,
  %\<so|also> $\a'\b' == \a''\b == \a\b$.
  .

Lemma{primeAtomic}:
  <|Let|> $\M$ \<be an infinite|eine unendliche> $\L$-<|structure|>, <|where|> 
  $|\L| <= \aleph_0$.

  \<Then|Dann ist> $\M$ \<is a prime model of|ein Primmodell von> $\Th(\M)$ 
  \<iff|genau dann, wenn> $\M$ \<is countable and atomic|abzählbar und atomar 
  ist>.
  .
Proof:
  \<Suppose|Sei> $\M |= T$ \<is prime|prim>.
  \<Then $\M$ is countable since it embeds in a countable model, by 
  Löwenheim-Skolem.
  |Dann ist $\M$ abzählbar, weil es nach Löwenheim-Skolem in einem abzählbaren 
  Modell einbettet.>
  <|Let|> $\a (- \M^{<\omega}$.
  \<Then|Dann ist> $\tp(\a)$ \<is realised in any|in jedes> $\M' |= T$\<| 
  realisiert>
  (\<namely by|nämlich durch> $\theta(\a)$, <|where|> $\theta : \M (-~<-> 
  \M'$).
  \<So by the omitting types theorem,|Nach das Typenvermeidungssatz ist> 
  $\tp(\a)$ \<is isolated|daher isoliert>.
  \<Hence|Deshalb ist> $\M$ \<is atomic|atomar>.

  \<Conversely, suppose|Sei umgekehrt> $\M = (a_i)_{i (- \omega}$ \<is 
  countable atomic|abzählbar atomar>, <|and|> <|let|> $\M' |= T$.
  \<We build a chain of partial elementary maps|Wir konstruieren eine Kette 
  von partiellen elementaren Abbildungen> $\theta_i : \M --> \M'$ <|with|> 
  $\dom{\theta_i} = \{ a_j : j < i \}$.

  \<Set|Setze> $\theta_0 := {}$.

  \<Given|Sei> $\theta_i$\<,| konstruiert.> $p_i := \tp(a_i/a_0,...,a_{i-1})$ 
  \<is isolated by atomicity|ist nach Atomizität> (<|and|> 
  Lemma~{isolTrans})\<| isoliert>, <|and|> \<hence|somit ist> $p_i^{\theta_i}$ 
  \<is isolated and hence realised by some|isoliert, also durch ein> $b_i (- 
  \M'$\<| realisiert>.
  \<Let|Setze> $\theta_{i+1}(a_i) := b_i$.
  \<Then|Dann ist> $\theta_{i+1}$ \<is partial elementary (by|partiell 
  elementar (nach> Lemma~{conjPE}(ii)).

  \<Then|Dann ist> $\bigcup_{i<\omega} \theta_i : \M (-~<-> \M'$ \<is an 
  elementary embedding|eine elementare Einbettung>.
  \<So|Daher ist> $\M$ \<is prime|prim>.
  .

Lemma{atomicUnique}:
  \<Let|Seien> $\M == \N$ \<be countable atomic elementarily equivalent 
  structures.
  |abzählbare atomare elementar äquivalente Strukturen.>
  \<Then $\M$ is isomorphic to $\N$.
  |Dann sind $\M$ und $\N$ isomorph.>
  .
Proof:
  <|Exercise|>.
  .

Proposition{primeUnique}:
  \<Let $T$ be a countable theory.
  Then $T$ has at most one prime model up to isomorphism.
  |Sei $T$ eine abzählbare Theorie.
  Dann hat $T$ bis auf Isomorphie höchstens ein Primmodell.>
  .
Proof:
  <|Exercise|> (\<it follows from|Es folgt aus> Lemma~{atomicUnique} <|and|> 
  Lemma~{primeAtomic}).
  .

Definition:
  \<We say the \defn{isolated types are dense in $S(T)$} if for each formula
  |Wir sagen, dass \defn{die isolierte Typen dicht in $S(T)$ sind}, wenn es 
  für jede konsistent mit $T$ Formel> $\phi(\x)$ \<consistent with $T$, there 
  is some isolated|einen isolierten Typ> $p(\x) (- S(T)$ <|with|> $\phi (- 
  p$\<| gibt>.
  .

Theorem|Satz{primeIsolDense}:
  \<A countable complete theory $T$ has a prime model iff isolated types are 
  dense in $S(T)$.
  |Eine abzählbare vollständige Theorie $T$ besitzt ein Primmodell genau dann, 
  wenn die isolierte Typen dicht in $S(T)$ sind.>
  .
Proof:
  $==>$: \<Say (by|Sei (durch> Lemma~{primeAtomic}) $\M |= T$ \<is countable 
  atomic|abzählbar und atomar>.
  \<Then any consistent|Dann hat jede konsistente Formel> $\phi(\x)$
  \<has a realisation in $\M$ (since $T$ is complete), which by atomicity has 
  isolated type.
  |eine Realisierung in $\M$ (weil $T$ vollständig ist), die nach Atomizität 
  einen isolierten Typ besitzt.>

  $<==$: \<Let|Seien> $n (- \omega$ <|and|> $\Psi_n(x_1,...,x_n) := \{ \neg 
  \psi(\x) : \psi(\x) \text{ \<an atom|ein Atom>} \}$.
  \<Suppose a formula|Nehmen wir an, dass eine Formel> $\phi(\x)$ 
  \<isolates|die Formelmenge> $\Psi_n(\x)$\<| isoliert>.
  \<By density of isolated types,|
  Nach Dichtheit von isolierten Typen gilt> $\psi(\x) |-_T \phi(\x)$
  \<for some atom|für ein Atom> $\psi(\x)$,
  \<but then|aber dann> $\psi(\x) |-_T \neg \psi(\x)$, \<contradicting 
  consistency of|was die Konsistenz von> $\psi(\x)$\<| widerspricht>.
  \<So each|Somit ist jedes> $\Psi_n(\x)$ \<is not isolated|nicht isoliert>,
  \<so by the omitting types theorem, there is a countable
  |also nach dem Typenvermeidungssatz gibt es ein aufzählbares>
  $\M |= T$\< which omits each|, das jedes> $\Psi_n$\<| vermeidet>.
  \<Then $\M$ is atomic|Dann ist $\M$ atomar>:
  \<if|Wenn> $\a (- \M^{<\omega}$,
  \<there is an atom|gibt es ein Atom> $\psi(\x)$, \<such that|sodass> $\a |/= 
  \neg\psi(\x)$,
  \<hence|also> $\a |= \psi(\x)$, \<hence|also> $\psi(\x)$ \<isolates|den Typ> 
  $\tp(\a)$\<| isoliert>.
  .

Notation:
  \<We write elements of|Wir schreiben Elemente von> $2^{<\omega}$ <|or|> 
  $2^\omega$ \<as binary strings, with|wie binäre Zeichenketten, mit> ${}$ 
  \<for the empty string|für die leere Zeichenkette>.

  $s \lessdot t$ \<means that|bedeutet, dass> $s$ \<is a prefix of|ein Präfix 
  von> $t$\<, i.e.| ist, d.h.> $t = st'$ \<for some|für ein> $t'$.
  .
  
Definition:
  \<A|Ein> \defn{\<binary tree of formulas|binärer Baum von Formeln>} <|for|> 
  \<a theory|eine Theorie> $T$ \<is a family of formulas|ist eine Familie von 
  Formeln>
  $(\phi_s(\x))_{s (- 2^{<\omega}}$\< such that for each|, sodass für alle> $s 
  (- 2^{<\omega}$:
  ***) $\phi_s(\x)$ \<is consistent with|ist konsistent mit> $T$;
  ** $\phi_{s0}(\x) |-_T \phi_s(\x)$
    and $\phi_{s1}(\x) |-_T \phi_s(\x)$;
  % Note: probably would be neater to actually require that \phi_s is 
  % equivalent to \phi_{s0} \/ \phi_{s1}, since this is the kind of tree which 
  % arises in the theory below.
  ** $\phi_{s0}(\x) |-_T \neg\phi_{s1}(\x)$.
  *e)*
  .

Lemma{smallBin}:
  \<If a countable theory $T$ has a binary tree of formulas,
  then
  |Wenn eine abzählbare Theorie $T$ hat einen binären Baum von Formeln, gilt>
  $S(T) = 2^{\aleph_0}$.
  %(\<and in particular $T$ is not small|insbesonderes ist dann $T$ nicht 
  %schmal>).
  .
Proof:
  <|Say|> $(\phi_s(\x))_{s (- 2^{<\omega}}$ \<is a binary tree and|ein binärer 
  Baum mit> $|\x| = n$.
  <|For|> $t (- 2^\omega$\<,| ist>
  $\{ P_s(\x) : s \lessdot t \}$ \<is consistent|konsistent>,
  \<so extends to a type|also lässt es sich zu einen Typ> $p_t(\x) (- 
  S_n(T)$\<.| erweitern.>
  \<Then if|Wenn> $t /= t'$,
  \<there is|existiert> $s (- 2^{<\omega}$\< such that|, sodass> $s0 \lessdot 
  t$ <|and|> $s1 \lessdot t'$ \<or the other way round|oder umgekehrt>,
  \<so|also> $p_t(\x) /= p_{t'}(\x)$.

  <|So|> $|S(T)| >= |S_n(T)| >= |2^{\omega}| = 2^{\aleph_0}$.

  \<Since the language|Weil die Sprache> $\L$ \<of|von> $T$ \<is 
  countable|abzählbar ist>, \<|gilt>
  $|S(T)| <= |\pow(\{ \L\text{-<|formulas|>} \})| = 2^{\aleph_0}$.
  .

Example|Beispiel:
  \newcommand{\TBB}{T_{\<\"BT|\"BB>}}
  \<Consider|Betrachte> $2^{\omega}$ \<as a structure in the language|als eine 
  Struktur in der Sprache>
  $\{ P_s : s (- 2^{<\omega} \}$,
  <|where|> $P_s(2^{\omega}) := \{ t : s \lessdot t \}$,
  \<and let|und sei> $\TBB$ \<be its theory|ihre Theorie>.

  \<Then|Dann ist> $\{ P_s(x) : s (- 2^{<\omega} \}$ \<is a binary tree of 
  formulas in|ein binärer Baum von Formeln in> $\TBB$.

  \<Exercise|Übung>: $\TBB$ \<has|besitzt> QE.
  \<It follows that|Es folgt, dass> $2^{\omega} -) t |-> \tp(t) (- S_1(\TBB)$ 
  \<is a bijection|eine Bijektion ist>, <|and|> \<none of these types are 
  isolated|keiner dieser Typen isoliert sind>.
  
  \<So|Daher ist> $\TBB$ \<is not small, and isolated types are not dense, and 
  there is no prime model.
  |nicht schmal, und die isolierte Typen sind nicht dicht, und es gibt kein 
  Primmodell.>

  Bonus \<exercise|Übung>: \<explicitly describe a countable model|Beschreiben 
  Sie ein explizites abzählbares Modell>.
  % One Answer: eventually 0 binary sequences
  .

Lemma{denseBin}:
  <|Let|> $T$ \<be a consistent theory|eine konsistent Theorie>.

  ***(i) \<If the isolated types are not dense in $S(T)$,
    then $T$ has a binary tree of formulas.
    |Wenn die isolierte Typen nicht dicht in $S(T)$ sind,
    hat $T$ einen binären Baum von Formeln.>
  **(ii)
    \<If $T$ is small, the isolated types are dense in $S(T)$.
    |Wenn $T$ schmal ist, sind die isolierte Typen dicht in $S(T)$.>
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i)
    <|Say|> $\phi_{{}}(\x)$ \<is consistent and in no isolated type.
    |konsistent und in kein isolierten Typ.>

    \<Given|Wenn> $\phi_s(\x)$ \<which is consistent and in no isolated type
    |konsistent und in kein isolierten Typ ist>
    ($s (- 2^{<\omega}$),
    \<|ist> $\phi_s(\x)$ \<is not an atom|kein Atom>,
    \<so there is|also gibt es> $\psi(\x)$\< such that|, sodass>
    $\phi_{s0} := \phi(\x) /\ \neg \psi(\x)$
    <|and|> $\phi_{s1} := \phi(\x) /\ \psi(\x)$
    \<are consistent|konsistent sind>,
    <|and|> \<each is in no isolated type since $\phi$ has this property.
    |beide in kein isolierten Typ ist (weil $\phi$ diese Eigenschaft hat).>

    \<So we may recursively construct a binary tree of formulas
    |Daher können wir rekursiv konstruieren einen binären Baum von Formeln>
    $(\phi_s(\x))_{s (- 2^{<\omega}}$.
  **(ii)
    \<Follows from|Folgt aus> (i) <|and|> Lemma~{smallBin}.
  *ee*
  .

Proposition{smallPrime}:
  \<Any countable complete small theory has a prime model.
  |Jede abzählbare vollständige schmale Theorie besitzt ein Primmodell.>
  .
Proof:
  \<Immediate from|Nach> Lemma~{denseBin}(ii) <|and|> 
  \<Theorem~{primeIsolDense}|Satz~{primeIsolDense}>.
  .

Remark|Bemerkung:
  \<The converse fails; consider|Die Umkehrung ist falsch; betrachte> 
  $(\Q;<)_{\Q}$ (<|Exercise|>).
  .

Example|Beispiel:
  <|Let|> $k$ \<be a countable field|ein abzählbarer Körper>.
  \<The theory of infinite $k$-vector spaces is complete, countable, and 
  small.
  |Die Theorie von unendliche $k$-Vektorräume ist vollständig, abzählbar, und 
  schmal.>
  \<The countable models are the vector spaces $V_d$ of dimensions
  |Die abzählbare Modelle sind die Vektorräume $V_d$ von Dimensionen>
  $d (- (\omega \\ 0) \cup \{ \aleph_0 \}$.
  $V_1$ \<is the prime model|ist das Primmodell>, <|and|> $V_{\aleph_0}$ \<is 
  the countable saturated model|ist das abzählbare saturierte Modell>.
  .

Proposition:
  \<For a countable theory|Für eine abzählbare Theorie> $T$, \<TFAE|sind 
  äquivalent>:
  ***(i) $T$ \<is not small, i.e.|ist nicht schmal, d.h.> $|S(T)| > \aleph_0$;
  **(ii) $T$ \<has a binary tree of formulas|hat einen binären Baum von 
  Formeln>;
  **(iii) $|S(T)| = 2^{\aleph_0}$.
  *ee*
  \<Furthermore|Außerdem>, \<if|wenn> $T$ \<is not small, then|nicht schmal 
  ist, gilt>
  \begin{enumerate} \item[(iv)]
    $T$ \<has|besitzt> $2^{\aleph_0}$ \<countable models up to 
    isomorphism|abzählbare Modelle bis auf Isomorphie>.
  \end{enumerate}
  .
Proof:
  <|Exercise|>.
  .

Remark|Bemerkung:
  \<There do exist small theories with|Es gibt schmale Theorien mit> 
  $2^{\aleph_0}$ \<countable models, e.g.|abzählbare Modelle; z.B.>
  $\Th((\omega \times \omega; (P_i)_i)_{\omega\times\omega})$, <|where|> 
  $P_i(\omega\times\omega) = \{i\} \times \omega$.
  .

Corollary|Korollar:
  \<If a countable theory $T$ has countably many countable models,
  then $T$ is small,
  and hence $T$ has a prime countable model and a saturated countable model.
  |Wenn eine abzählbare Theorie $T$ besitzt abzählbar viele abzählbare
  Modelle, ist $T$ schmal, also besitzt $T$ ein abzählbares Primmodell und ein 
  abzählbares saturiertes Modell.>
  .

Conjecture|Vermutung[Vaught]:
  \<If $T$ is a countable theory with uncountably many countable models,
  it has $2^{\aleph_0}$ countable models.
  |Wenn $T$ eine abzählbare Theorie mit überabzählbar vielen abzählbare 
  Modelle, besitzt $T$ genau $2^{\aleph_0}$ abzählbare Modelle.>

  (\<Note|Bemerkung>: \<it's easy to see that a countable theory has at 
  most|Einfach hat eine abzählbare Theorie höchstens>
  $2^{\aleph_0}$ \<countable models, so this is immediate if we assume CH%
  |abzählbare Modelle. Daher ist die Vermutung sofort wahr, wenn wir die 
  Kontinuumhypothese annehmen>.)
  .

%Remark:
  %Uncountable atomic structures need not be prime;
  %e.g. any model of $T_\infty$ is atomic, but only the countable model is 
  %prime.
  %.


## Ryll-Nardzewski

\newcommand{\fsTeq}[1]{\Phi_{#1,T}}
Theorem|Satz{ryllNard}[Ryll-Nardzewski]:
  <|Let|> $T$ \<be a complete countable|eine vollständige abzählbare> 
  $\L$-<|theory|> \<with infinite models|mit unendlichen Modelle>.
  \<TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(A) $T$ <|is|> $\aleph_0$-<|categorical|>.
  **[-]
    ***(B1) \<For all|Für alle> $n (- \omega$ <|and|> $\M |= T$\<,|>
    \<there are only finitely many definable subsets of
    |gibt es nur endlich viele definierbaren Teilmengen von> $\M^n$.
    **[(B1')] \<For all|Für alle> $n (- \omega$\<, we have| gilt> $|\fsTeq{n}| 
    < \aleph_0$,
    <|where|> $\fsTeq{n} := \quot{ \{ \phi(x_1,...,x_n) \} }{ <->_T }$
    \<is the set of|die Menge von> $(<->_T)$-\<equivalence classes 
    of|Äquivalenzklassen von> $\L$-<|formulas|> $\phi(x_1,...,x_n)$\<| ist>.
    **[(B2)] \<Every type in $T$ is isolated.
    |Jeder Typ in $T$ ist isoliert.>
    **[(B3)] \<For all|Für alle> $n (- \omega$\<, we have| gilt> $|S_n(T)| < 
    \aleph_0$.
    *ee*
  **[(C)] \<Every countable model of $T$ is saturated.
  |Jedes abzählbares Modell von $T$ ist saturiert.>
  **[(D)] \<Every countable model of $T$ is prime.
  |Jedes abzählbares Modell von $T$ ist prim.>
  **[(E)] $T$ \<has a countable model which is saturated and prime.
  |hat ein abzählbares Modell, das saturiert und prim ist.>
  *ee*

  (\<The equivalence (A) $<==>$ (B1) is the key result here, and is what is 
  most often referred to as the Ryll-Nardzewski Theorem.%
  |Die Äquivalenz (A) $<==>$ (B1) ist die Hauptbehauptung, und ist die, worauf 
  sich ``das Satz von Ryll-Nardzewski'' am häufigsten bezieht>)
  .

Proof:--
  ***)[(B1) $<==>$ (B1')]
    \<If|Sei> $\M |= T$\<, then|. Dann>
    $\phi(\x) <->_T \psi(\x)$ <|iff|> $\phi(\M) = \psi(\M)$.
  **[(B1') $==>$ (B2)]
    \<Given|Sei> $p(\x) (- S(T)$\<,|. Dann enthält>
    $p(\x)$ \<contains by (B1') only finitely many formulas|nach (B1') nur 
    endlich viele Formeln>
    $\phi_1(\x),...,\phi_k(\x)$ \<up to equivalence|bis auf Äquivalenz>.
    <|Then|> $//\\_i \phi_i (- p$ \<isolates|isoliert> $p$.
  **[(B2) $==>$ (B3)]
    \<Suppose each|Sei jedes> $p(\x) (- S(T)$ \<is isolated, say by|durch>
    $\phi_p(\x)$\<| isoliert>.
    <|Let|> $n (- \omega$.

    \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $|S_n(T)|$ \<is infinite|unendlich ist>. 
    \<Then|Dann ist> $\{ \neg \phi_p(\x) : p (- S_n(T) \}$ \<is finitely 
    satisfiable and so can be completed to some|endlich erfüllbar, somit lässt 
    es sich zu ein> $p (- S_n(T)$\<,| erweitern.>
    \<but then|Aber dann gilt> $\phi_p |-_T p -) \neg \phi_p$, \<contradicting 
    consistency of|was die Konsistenz von> $\phi_p$\<| widerspricht>.
  **[(B3) $==>$ (B1')]
    \<The map|Die Abbildung> $\phi(x_1,...,x_n) |-> \{ p (- S_n(T) : \phi(\x) 
    (- p(\x) \}$ \<induces an injection|induziert eine Injektion>
    $\fsTeq{n} (--> \pow(S_n(T))$;
    \<indeed, if|in der Tat: Wenn> $\phi(\x) </->_T \psi(\x)$,
    \<then|gilt> $T |= \exists \x\. \neg (\phi(\x) <-> \psi(\x))$,
    \<so for some|somit für ein> $p (- S_n(T)$\<, we have| haben wir>
    $\phi (- p </=> \psi (- p$.
    \<So|Daher ist> $\fsTeq{n}$ \<is finite if|endlich, wenn> $S_n(T)$ \<is| 
    endlich ist>.
  *e)*

  \<For the remaining equivalences, note first that since $T$ is complete and 
  has infinite models, it has no finite models, so countable models have 
  cardinality $\aleph_0$.
  |Für die übrige Äquivalenzen beachte, dass $T$ kein endliches Modell hat, 
  weil $T$ vollständig ist und unendliche Modelle hat; daher hat jedes 
  abzählbares Modell von $T$ Mächtigkeit $\aleph_0$.>

  ***)[(A) $==>$ (D)]
  \<By|Nach> Löwenheim-Skolem\<, every model of $T$ has a countable elementary 
  submodel| hat jedes Modell von $T$ ein abzählbares elementares 
  Unterstruktur>.
  \<So if $\M$ is the unique countable model, it elementarily embeds in every 
  model, so is prime.
  |Wenn $\M$ das eindeutig bestimmtes abzählbares Modell ist, einbettet es 
  deswegen in jedes Modell, und ist es daher prim.>
  **[(D) $==>$ (B2)]
  \<Every type is (by Löwenheim-Skolem) realised in a countable model,
  which by (D) and Lemma~{primeAtomic} is atomic.
  |Jeden Typ ist (nach Löwenheim-Skolem) in einem abzählbares Modell 
  realisiert, das nach (D) und Lemma~{primeAtomic} atomar ist.>
  **[(B2) $==>$ (C)]
  <|Let|> $\M |= T$ \<be countable|abzählbar>, <|and|> <|let|> $A (=f \M$.
  <|Then|> \<every|ist jedes> $p (- S(A)$ \<is isolated by|isoliert nach> (B2) 
  (<|and|> Lemma~{isolTrans}),
  \<and hence realised in|und also ist $p$ in> $\M$\<| realisiert>.
  \<So|Somit ist> $\M$ \<is saturated|saturiert>.
  **[(C) $==>$ (A)]
  Lemma~{satIsom}.
  **[((C) $ /\ $ (D)) $==>$ (E)]
  \<A countable model exists by Löwenheim-Skolem, so this is immediate.
  |Ein abzählbares Modell existiert nach Löwenheim-Skolem. Daher ist die 
  Behauptung sofort.>
  **[(E) $==>$ (D)]
  <|If|> $\M |= T$ \<is a countable saturated prime model
  |ein abzählbares saturiertes Primmodell ist>
  <|and|> $\N |= T$ \<is countable|abzählbar ist>,
  \<then|gibt es nach Lemma~{satUniv} eine Einbettung>
  $\N (-~<-> \M$\< by Lemma~{satUniv}|>.
  \<Then $\N$ is prime since $\M$ is.
  |Dann ist $\N$ prim, weil $\M$ prim ist>.
  %(and hence isomorphic to $\M$, so we also get (A) directly).
  *e)*
  .

Remark|Bemerkung:
  \<We can also give direct proofs of some of the other implications:
  |Wir können auch direkte Beweise von einigen anderer Folgen geben:>
  ***)[(A) $==>$ (B)]
  \<If some type is not isolated, by the omitting types theorem we have a 
  countable model which omits it, but we also have a countable model which 
  realises it.
  |Wenn ein Typ $p$ nicht isoliert ist, haben wir nach dem 
  Typenvermeidungssatz ein abzählbares Modell, das $p$ vermeidet;
  aber wir haben auch ein abzählbares Modell, das $p$ realisiert.>
  **[(B2) $==>$ (D)]
  Lemma~{primeAtomic}.
  **[(D) $==>$ (A)]
  Proposition~{primeUnique}.
  **[((A) $ /\ $ (B)) $==>$ (E)]
  \<By (B), $T$ is small, so saturated and prime countable models exist;
  by (A) they are isomorphic.
  |Nach (B) ist $T$ schmal. Daher gibt es ein saturiertes Modell und ein 
  primes Modell. Nach (A) sind sie Isomorph.>
  **[(E) $==>$ (B2)]
  \<By (E), an atomic model realises every type.
  |Nach (E) realisiert ein atomares Modell jeden Typ.>
  *e)*
  .

## \<Fraïssé constructions|Fraïssé-Konstruktionen>

% Probably just do in relational language (so no JEP needed)
% and mention general case (with JEP in form: common <{}>).

{
!newop age
!newcal K
!renewcal C
!newcal D

<|Let|> $\L$ \<be finite and /relational/, i.e. containing only relation 
symbols.
|endlich und relational, d.h. $\L$ enthält nur Relationszeichen.>
\<In this section, we consider the empty $\L$-structure to be an 
$\L$-structure.
|In diesem Abschnitt erlauben wir die leere $\L$-Struktur ${}$ als eine 
$\L$-Struktur.>

\<Our aim is to find $\aleph_0$-categorical theories.
|Unseres Ziel ist, $\aleph_0$-kategorische Theorien zu finden.>

Remark|Bemerkung{finRelFin}:
  <|Let|> $n (- \omega$.
  \<There are up to isomorphism only finitely many $\L$-structures of 
  cardinality $n$.
  |Es gibt bis auf Isomorphie nur endlich viele $\L$-Strukturen der 
  Mächtigkeit $n$.>
  .

Definition:
  \<The #age# of an $\L$-structure $\M$ is the class of finite $\L$-structures 
  which embed in $\M$,
  |Das #Alter# einer $\L$-Struktur $\M$ ist die Klasse von endliche 
  $\L$-Strukturen, die in $\M$ einbetten,>
  $$ \age(\M) := \{ \A : |\A| < \aleph_0;\; \exists f : \A (--> \M \}
  = \{ \A : \A ~= \A' <=_{\fin} \M \} .$$
  .

Lemma{ageHPJEP}:
  \<Any age|Jedes Alter> $\K$ \<satisfies|erfüllt>:
  ***)[(HP)] <|If|> $\A (- \K$, \<then|ist> $\age(\A) (= \K$;
  **[(JEP)] <|If|> $\B_1,\B_2 (- \K$,
  \<then there exist|gibt es> $\C (- \K$ <|and|> \<embeddings|Einbettungen>
  $f_i : \B_i (--> \C$.
  \[ \xymatrix{
:::                         & \C & \\\
:::      \B_1 \embarex[ur]^{f_1} &    & \B_2 \embarrevex[ul]_{f_2} } .\]
  *e)*
  .
Proof:
  ***)[(HP)] <|Clear|>.
  **[(JEP)] <|Say|> $f_i : \B_i (--> \M$.
  <|Let|> $\C := <{ f_1(\B_1) \cup f_2(\B_2) }>^\M <= \M$.
  <|Then|> $f_i : \B_i (--> \C (- \K$.
  *e)*
  .

\<Conversely|Umgekehrt>:
Lemma:
  \<Any non-empty class $\K$ of finite|Jede nicht-leere Klasse $\K$ von 
  endliche> $\L$-<|structures|>\< satisfying (HP) and (JEP) is the age of a 
  countable|, das (HP) und (JEP) erfüllt, ist das Alter einer abzählbaren>
  $\L$-<|structure|>.
  .
Proof:
  \<By|Nach> \<Remark~{finRelFin}|Bemerkung~{finRelFin}>
  \<we can find|gibt es> $\A_i (- \K$ <|for|> $i (- \omega$\< such that any|, 
  sodass jedes> $\A (- \K$ \<is isomorphic to some|zu einem> $\A_i$\<| 
  isomorph ist>.

  \<We construct a countable chain|Wir konstruieren eine abzählbare Kette> 
  $\D_0 <= \D_1 <= ...$
  <|with|> $\D_i (- \K$,
  \<such that|sodass> \<each|jedes> $\A_j$ <|for|> $j < i$ \<embeds|> in 
  $\D_i$\<| einbettet>.

  <|Let|> $\D_0 := {}$ (\<which is|das> in $\K$ \<by|ist nach> (HP) <|and|> 
  $\K /= {}$).
  \<Suppose $\D_i$ has been constructed.
  |Sei $\D_i$ konstruiert.>
  \<By|Nach> (JEP) \<there is|gibt es> $\D_{i+1}' (- \K$, \<such that|sodass> 
  $\D_i$ <|and|> $\A_i$ \<embed|> in $\D_{i+1}'$\<| einbetten>.
  <|Let|> (\<by|nach> Lemma~{embedInc}) $\D_{i+1} ~= \D_{i+1}'$ <|with|> $\D_i 
  <= \D_{i+1}$.
  \<Then also|Dann einbettet> $\A_i$ \<embeds|auch> in $\D_{i+1}$.

  <|Let|> $\M := \bigcup_{i (- \omega} \D_i$,
  \<which is countable since each $\D_i$ is finite.
  |das abzählbar ist, weil jedes $\D_i$ endlich ist.>
  \<Then each|Dann einbettet jedes> $\A_i$ \<embeds|> in $\M$,
  \<so|also> $\K (= \age(\M)$.
  \<Conversely,|Umgekehrt:> <|if|> $\A <= \M$, \<then|gilt> $\A <= \D_i$ \<for 
  some|für ein> $i$, \<so|also nach (HP)> $\A (- \age(\K)$\< by (HP)|>.
  .

Lemma{QEwcat}:
  \<Any consistent|Jede konsistente> $\L$-<|theory|> <|with|> QE <|and|> 
  <|with|> \<infinite models is|unendlichen Modelle ist> 
  $\aleph_0$-<|categorical|>.
  .
Proof:
  \<For any|Für jedes> $n (- \omega$
  \<there are only finitely many atomic|gibt es nur endlich viele atomar> 
  $\L$-<|formulas|> in \<free variables|freie Variablen> $x_1,...,x_n$,
  \<and hence only finitely many qf|also gibt es nur endlich viele qf> 
  $\L$-<|formulas|> in $\x$ \<up to equivalence|bis auf Äquivalenz>.
  \<So we conclude by|Die Behauptung folgt nach> Ryll-Nardzewski.
  .

Definition:--
  \<A|Eine> \defn{\<Fraïssé class|Fraïssé-Klasse>} \<is a class|ist eine 
  Klasse> $\K$ \<of finite|von endliche> $\L$-<|structures|>\< which contains 
  unboundedly large structures and satisfies|, die beliebig große Strukturen 
  enthält und> (HP) \<and|sowie> \<|(AP) erfüllt, wobei:>
  ***)[(AP)] <|If|> $\A,\B_1,\B_2 (- \K$ <|and|> $g_i : \A (--> \B_i$ \<are 
  embeddings|Einbettungen sind>, \<then there exist|gibt es> $\C (- \K$ 
  <|and|> \<embeddings|Einbettungen> $f_i : \B_i (--> \C$,
  \<such that|sodass> $f_1 \circ g_1 = f_2 \circ g_2$.

  \[ \xymatrix{
:::                         & \C & \\\
:::      \B_1 \embarex[ur]^{f_1} &    & \B_2 \embarrevex[ul]_{f_2} \\\
:::                         & \embarrev[ul]^{g_1} \A \embar[ur]_{g_2} & \\\
} \]
  *e)*
  .
Remark:
  (AP) \<implies|impliziert> (JEP): \<take|Setze> $\A := {}$.
  .

Theorem|Satz{Fraisse}[Fraïssé]:--
  ***(i)
  <|Let|> $\K$ \<be a Fraïssé class|eine Fraïssé-Klasse>.
  \<Then there is a unique|Dann existiert eine eindeutig bestimmte> 
  $\L$-<|theory|> $T_\K$,
  \<such that $T_\K$ has QE and infinite models and $\K$ is the age of any 
  model of $T_\K$.
  |sodass $T_\K$ QE und unendliche Modelle besitzt, und jedes Modell von 
  $T_\K$ Alter $\K$ hat.>

  \<The unique countable model of $T_\K$ is called the \defn{Fraïssé limit} of 
  |Das eindeutig bestimmte abzählbare Modell von $T_\K$ ist der 
  \defn{Fraisse-Limes} von>
  $\K$.

  **(ii)
  \<Conversely,|Umgekehrt:> <|if|> $\M$ \<is an infinite|eine unendliche> 
  $\L$-<|structure|> <|with|> QE\<, then| ist, ist> $\age(\M)$ \<is a Fraïssé 
  class|eine Fraïssé-Klasse>.
  *ee*
  .
Example|Beispiel:--
  ***) \<The class of finite linear orders is a Fraïssé class with Fraïssé 
  limit.
  |Die Klasse von endliche lineare Ordnungen ist eine Fraïssé-Klasse mit 
  Fraïssé-Limes $(\Q;<)$.>

  ** \<The class of finite graphs is a Fraïssé class with Fraïssé limit the 
  countable random graph.
  |Die Klasse von endliche Graphen ist eine Fraïssé-Klasse mit Fraïssé-Limes 
  der abzählbare Zufallsgraph.>
  *e)*
  .

Proof:
  <|For|> $\A$ \<a finite|eine endliche> $\L$-<|structure|>: \<say|Sei> $\A = 
  \{a_1,...,a_n\}$,
  \<let|und setze> $$\phi_{\A,\a}(\x) := //\\ \{ \phi(\x) : \phi(\x) \text{ 
  basic};\; \A |= \phi(\a) \}.$$
  \<So for|Für> $\M$ \<an|eine> $\L$-<|structure|> <|and|> $\a' (- \M^n$,
  \<we have|gilt> $\M |= \phi_{\A,\a}(\a')$ \<iff|gdw> $\a' |-> \a$ \<defines 
  an isomorphism|einen Isomorphismus> $<{ \a' }>^\M -~=-> \A$\<| definiert>.

  \begin{enumerate}\item[(ii)]
  \<Suppose|Sei> $\M$ \<is an infinite|eine unendliche> $\L$-<|structure|> 
  <|with|> QE. <|Set|> $\K := \age(\M)$.

  Claim|Behauptung*:
    \<Suppose|Seien> $g : \A (--> \B (- \K$
    <|and|> $\A = \{a_1,...,a_n\}$ <|and|> $\B = 
    \{g(a_1),...,g(a_n),b_1,...,b_m\}$.
    <|Then|> $$\M |= \theta_{\A,\B,g,\a,\b} :=
    \forall \x\. (\phi_{\A,\a}(\x) --> \exists \y\. 
    \phi_{\B,g(\a)\b}(\x,\y)).$$
    .
  Proof:
    $\B (- \K = \age(\M)$, \<so let|also sei> $\c\d (- \M^{<\omega}$ <|with|> 
    $\M |= \phi_{\B,g(\a)\b}(\c,\d)$.
    <|Then|> $\M |= \exists \y\. \phi_{\B,g(\a)\b}(\c,\y)$.
    <|Now|> $\M |= \phi_{\A,\a}(\c)$, <|and|> \<by|nach> QE\<| ist>
    $\exists \y\. \phi_{\B,g(\a)\b}(\x,\y)$ \<is equivalent to a qf formula,
    so it is implied by|zu eine qf Formel äquivalent, also ist es durch> 
    $\phi_{\A,\a}(\x)$\<| impliziert>.
    .

  \<We show that $\K$ is a Fraïssé class.%
  |Wir zeigen, dass $\K$ eine Fraïssé-Klasse ist.>
  \\\ \<(HP) holds by|Nach> Lemma~{ageHPJEP}\<| besitzt $\K=\age(\M)$ (HP)>.
  \\\ <|Let|> $g_i : \A (--> \B_i$ \<be as|wie> in (AP).
  \<Composing with an isomorphism, we may assume|Durch Komposition mit einem 
  Isomorphismus können wir annehmen, dass> $\A <= \M$.
  \\\ \<Say|Seien> $\A = \{a_1,...,a_n\}$
  <|and|> $\B_i = \{g_i(a_1),...,g_i(a_n),b^i_1,...,b^i_{m_i}\}$.
  \\\ \<Then by the Claim,|Nach der Behauptung gilt>
  $\M |= \theta_{\A,\B_i,g_i,\a,\b^i}$,
  \\\ \<so|also gilt> $\M |= //\\_{i=1,2} \exists \y\. 
  \phi_{\B_i,g_i(\a)\b^i}(\a,\y))$.
  \\\ \<Let|Seien> $\c^1$ <|and|> $\c^2$ \<be witnesses|Zeugen>;
  \<then|dann definieren> $$f_i(g_i(\a)) := \a;\; f_i(\b^i) := \c^i$$
  \<defines embeddings|Einbettungen> $f_i : \B_i (--> \M$
  <|with|> $f_1 \circ g_1 = f_2 \circ g_2$.
  \\\ \<So we obtain (AP) by setting|Daher gilt (AP) mit> $\C := <{ f_1(\B_1) 
  \cup f_2(\B_2) }>^\M$.
  %\<This concludes the proof of (ii)|Somit ist (ii) bewiesen>.

  **[(i)]
  \<Suppose|Sei> $\K$ \<is a Fraïssé class|eine Fraïssé-Klasse>.
  
  <|For|> $n (- \omega$\<,|> <|let|> $\K_n (=f \K$\< be such that any|, sodass 
  jedes> $\A (- \K$ <|with|> $|\A| <= n$ \<is isomorphic to some|isomorph zu 
  einem> $\A' (- \K_n$\<| ist>,
  \<and let|und setze> $$\chi_n(x_1,...,x_n) := \forall \x\. \\// \{ 
  \phi_{\A,\a}(\x) : \A (- \K_n;\; \A = \{a_1,...,a_n\} \} ).$$

  <|Let|> $\Theta_\K$ \<be the class of triples|die Klasse von Tripeln> 
  $(\A,\B,\a,\b)$ \<such that|mit>
  $\A <= \B (- \K$
  <|and|> $\A = \{a_1,...,a_n\}$
  <|and|> $\B = \{a_1,...,a_n,b_1,...,b_m\}$.
  % It suffices to consider m=1, but this doesn't actually make the proof any 
  % nicer, and makes it slightly trickier to see that the axioms determine the 
  % age.
  \\\ <|Let|> $\theta_{\A,\B,\a,\b} := \theta_{\A,\B,\id_\A,\a,\b}$.

  <|Let|> $$T_\K := \{ \theta_{\A,\B,\a,\b} : (\A,\B,\a,\b) (- \Theta_\K \} 
  \cup \{ \chi_n : n (- \omega \}.$$

  \<Any model of|Jedes Modell von> $T_\K$ \<has age|hat Alter> $\K$,
  \<since it satisfies the|weil es die Aussagen $\chi_n$> <|and|> 
  $\theta_{{},\B,{},\b}$\<| erfüllt>.
  \<By the above Claim, if
  |Wenn>
  $\M$ \<has QE and|QE hat und> $\age(\M) = \K$, \<then|gilt nach die 
  vorherige Behauptung> $\M |= T_\K$.

  \<It remains to see that $T_\K$ has QE and infinite models;
  indeed, it is then complete (by Corollary~{QEComp}),
  and the claimed uniqueness follows.
  |Es genügt dann zu ziegen,
  dass $T_\K$ QE und unendliche Modelle besitzt.
  In der Tat: es folgt (nach Korollar~{QEComp}),
  dass $T_\K$ vollständig ist,
  also die behauptete Eindeutigkeit von $T_\K$ folgt.>

  \<We verify|Wir verifizieren> QE via 
  \<Theorem~{QECrit}(iii)|Satz~{QECrit}(iii)>.
  \\\ \<Suppose|Sei> $\A <= \M_1,\M_2 |= T_\K$ \<is a finite common 
  substructure of models of|eine endliche gemeinsame Unterstruktur von Modelle 
  von> $T_\K$.
  \\\ <|Say|> $\A = \{a_1,...,a_n\}$.
  \\\ \<Suppose|Sei> $\exists y\. \psi(\x,y)$ \<is a primitive 
  existential|eine primitiv existentielle> $\L$-<|formula|>
  \\\ \< and|. Sei $b (- \M_1$ mit> $\M_1 |= \psi(\a,b)$\< for some $b (- 
  \M_1$|>.
  \\\ <|Let|> $\B = <{ \a b }>^{\M_1}$.
  \\\ <|Since|> $\M_1 |= \chi_{n+1}$, \<we have|gilt> $\A,\B (- \K$.
  \\\ \<Then|Dann ist> $\psi(\x,y)$ \<is implied by|durch> $\phi_{\B,\a 
  b}(\x,y)$\<| impliziert>.
  \\\ \<So since|Weil> $\M_2 |= \theta_{\A,\B,\a,b}$ <|and|> $\M_2 |= 
  \phi_{\A,\a}(\a)$,
  \\\ \<also|gilt> $\M_2 |= \exists y\. \psi(\a,y)$,
  \<as required|wie gewünscht>.

  \<Finally, we construct an infinite model of $T_\K$.%
  |Schließlich konstruieren wir ein unendliches Modell von $T_\K$>

  Claim|Behauptung*:
    \<Let|Seien> $(\A,\B,\a,\b) (- \Theta$\<, and suppose| und> $\A <= \D (- 
    \K$.
    \<Then there exists|Dann gibt es> $\D' (- \K$\< such that|, sodass> $\D <= 
    \D'$, <|and|> \<there is an embedding|es eine Einbettung> $f : \B (--> 
    \D'$ \<such that|mit> $f|_\A = \id|_\A$\<| gibt>.
    .
  Proof:
    \<Immediate consequence of|Folgt sofort aus> (AP) (<|and|> 
    Lemma~{embedInc}).
    .

  <|Let|> $\xi: \omega \times \omega --> \omega$
  \<be a bijection such that|eine Bijektion mit> $\xi(i,j) >= i$.

  \<We construct a countable chain|Wir konstruieren eine abzählbare Kette> 
  $\D_0 <= \D_1 <= ...$ <|with|> $\D_k (- \K$.
  \\\ \<We simultaneously construct a sequence|Wir konstruieren gleichzeitig 
  eine Folge> $(\A_i,\a_i)_{i (- \omega}$,
  \\\ \<and for|und für> $k (- \omega$ \<some|ein> $m_k > k$,
  \\\ \<such that if|sodass, wenn> $\a$ \<is a tuple of distinct elements of 
  $\D_k$,|ein Tupel von verschiedenen Elementen von $\D_k$ ist,>
  \\\ \<then|ist> $\a = \a_i$ \<for some|für ein> $i < m_k$
  \\\ \<and for all $i < m_k$, we have|und>
  $\A_i = <{ \a_i }>^{\D_k} <= \D_k$\<| gilt für alle $i < m_k$>.

  \<For each|Für jedes> $i (- \omega$
  \<we take (using Remark~{finRelFin}) a sequence%
  |nehmen wir (nach Bemerkung~{finRelFin}) eine Folge>
  $(\B^i_j, \b^i_j)_{j (- \omega}$ <|with|> $(\A_i,\B^i_j,\a_i\b^i_j) (- 
  \Theta$,
  \\\ \<such that if|sodass, wenn> $(\A_i,\B,\a_i\b) (- \Theta$,
  \<then|definiert> $$\b |-> \b^i_j;\; \a_i |-> \a_i$$ \<defines an 
  isomorphism|einen Isomorphismus> $\B -~=-> \B^i_j$.

  % Note: in fact in this finite relational case we need only finitely many 
  % B^i_j, so we could do it more "directly" by taking an \omega chain of 
  % extensions each dealing with all the finitely many 1-element extensions of 
  % finite substructures of the previous. But this way actually seems neater 
  % to write down, and generalises better.

  <|Let|> $\D_0 := {}$ (<|and|> $\A_0 := {}$ <|and|> $m_0 := 1$).
  \\\ \<Given|Sei> $\D_k$\<,| konstruiert.>
  \<say|Sei> $k = \xi(i,j)$\<,|.>
  \\\ \<we have|Es gilt> $i <= \xi(i,j) = k < m_k$,
  \<so|also> $\A_i <= \D_k$.
  \\\ \<By the Claim we find|Nach die Behauptung gibt es> $\D_k <= \D_{k+1} (- 
  \K$,
  \\\ \<such that|sodass> $\B^i_j$ \<embeds|> in $\D_{k+1}$ <|over|> $\A_i$\<| 
  einbettet>;
  \\\ \<i.e.|d.h.> $\D_{k+1} |= \exists y\. \phi_{\B^i_j,\a_i\b}(\a_i,y)$.
  \\\ \<We may extend|Wir können> $(\A_i,\a_i)_i$\< to include the 
  substructures of $\D_{k+1}$, and set|verlängern, sodass die Unterstrukturen 
  von $\D_{k+1}$ vorkommt, und> $m_{k+1} > m_k$ \<correspondingly|entsprechend 
  setzen>.

  \<So then|Dann> $\M_\K := \bigcup_{k (- \omega} \D_k |= 
  \theta_{\A,\B,\a,\b}$ \<for all|für alle> $(\A,\B,\a,\b) (- \Theta$.

  \<Also|Auch> $\M |= \chi_n$, <|since|> $\D_k (- \K$. \<So|Daher> $\M |= 
  T_\K$.

  \<Finally,|Schließlich ist> $\M$ \<is infinite, since|unendlich, weil> $\K$ 
  \<contains unboundedly large finite structures|unbeschränkt große endliche 
  Strukturen enthält>.
  *ee*
  .

Remark|Bemerkung:
  \<Analogues of Theorem~{Fraisse} exist for arbitrary countable languages, 
  with finitely generated substructures in place of finite substructures.
  |Analoga von Satz~{Fraisse} existieren für beliebigen abzählbaren Sprachen, 
  mit endlich erzeugte Unterstrukturen statt endliche Unterstrukturen.>

  \<In non-relational languages, one must assume (JEP) as well as (AP),
  or equivalently assume (AP) and:
  |In nicht-relationaler Sprachen müssen (JEP) sowie (AP) vorausgesetzt 
  werden,
  oder äquivalent (AP) und>
  $<{ {} }>^\A ~= <{ {} }>^\B$ \<for all|für alle> $\A,\B (- \K$.

  \<In general|In dieser Allgemeinheit sind> $\aleph_0$-<|categoricity|> 
  <|and|> QE \<are weakened to /ultrahomogeneity/ of the Fraïssé limit: any 
  partial automorphism with f.g. domain extends to an automorphism. The proof 
  is essentially the same.
  |zu /Ultrahomogeneity/ des Fraïssé-Limes geschwächt, wobei Ultrahomogeneity 
  heißt, dass jeder partieller Automorphismus mit endlich erzeugten 
  Definitionsbereich sich zu einem Automorphismus erweitern lässt. Das Beweis 
  ist in Wesentlichen gleich.>

  \<There are further generalisations, including ``Hrushovski-Fraïssé 
  constructions'', in which (HP) is relaxed.
  |Es gibt weitere Verallgemeinerungen, einschließlich ``Hrushovski-Fraïssé 
  Konstruktionen'', in den (HP) locker wird.>
  .

}


# \<Cofinality and regularity|Kofinalität und Regulärität>

%Notation*:
  %\<$\kappa$, $\lambda$, and $\mu$ denote infinite cardinals, except where 
  %otherwise specified.
  %|$\kappa$, $\lambda$ und $\mu$ kennzeichnen unendliche Kardinalzahl (sofern 
  %nicht anders angegeben).>
  %.

Definition:
  <|Let|> $X$ \<be a linearly ordered set|eine linear geordnete Menge>.

  ***) \<A subset|eine Teilmenge> $A (= X$ \<is #cofinal# if|heißt #kofinal#, 
  wenn>
  $\forall b (- X\. \exists a (- A\. a >= b$.

  ** \<The #cofinality# of|Die #Kofinalität# von> $X$, \<written|geschrieben> 
  $\cof(X)$, \<is the minimal cardinality of a cofinal subset|ist die minimale 
  Mächtigkeit einer kofinalen Teilmenge>.

  ** \<An infinite cardinal|Eine unendliche Kardinalzahl> $\lambda$ \<is 
  #regular# if|heißt #regulär#, wenn> $\cof(\lambda) = \lambda$,
  \<otherwise it is #singular#|sonst heißt sie #singulär#>.
  *e)*
  .

Lemma{regUnion}:
  \<Suppose|Seien> $\lambda$ \<is a regular cardinal and|eine reguläre 
  Kardinalzahl und> $(A_\alpha)_{\alpha (- \lambda}$ \<is an increasing chain 
  of sets|eine ansteigende Kette von Mengen>.
  \<Suppose|Sei> $B (= \bigcup_{\alpha (- \lambda} A_\alpha$ <|with|> $|B| < 
  \lambda$.
  \<Then there exists an ordinal|Dann gibt es eine Ordinalzahl> $\alpha (- 
  \lambda$\< such that|, sodass> $B (= A_\alpha$.
  .
Proof:
  \<Otherwise,|Sonst ist> $\{ \inf \{ \alpha : b (- A_\alpha \} : b (- B \}$
  \<is cofinal, so|kofinal, also> $\cof(\lambda) <= |B| < \lambda$, 
  \<contradicting regularity|was Regulärität widerspricht>.
  .

Proposition{succReg}:
  \<Infinite successor cardinals are regular|Unendliche 
  Nachfolgerkardinalzahlen sind regulär>.
  .
Proof:
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<Suppose|Sei> $A (= \kappa^+$ <|with|> $|A| < \kappa^+$.
  <|Then|> $|A| <= \kappa$ <|and|> \<every|jedes> $\alpha (- A$ \<has 
  cardinality|hat Mächtigkeit> $|\alpha| <= \kappa$,
  \<so|also> $|\bigcup_{\alpha (- A} \alpha| <= \kappa \cdot \kappa = \kappa$.
  \<But then|Dann> $\sup_{\alpha (- A} \alpha = \bigcup_{\alpha (- A} \alpha < 
  \kappa^+$,
  \<so|also ist> $A$ \<is not cofinal in|nicht in> $\kappa^+$\<| kofinal>.

  \<So|Daher> $\cof(\kappa^+) = \kappa^+$.
  .

# \<Saturation|Saturiertheit>

## \<Existence|Existenz>

%Definition:
  %For infinite cardinals $\lambda,\kappa$,
  %$$ \lambda^{<\kappa} := \bigcup \{ \lambda^\mu : \mu < \kappa;\; \mu \text{ 
  %a cardinal} \} .$$
  %.

Definition:
  <|For|> $A (= B (= \M$, \<define|setze>
  $$|_A : S(B) -->> S(A);\; \tp(a/B) |-> \tp(a/A)$$
  (<|for|> $a (- \M' >~ \M$).
  .

Proposition{satExists}:
  <|Let|> $T$ \<be a theory with infinite models|eine Theorie mit unendlichen 
  Modelle>.

  <|Let|> $\kappa <= \lambda >= |T|$ \<be infinite cardinals such that
  for any|unendliche Kardinalzahlen, sodass für jedes> $\M |= T$ <|with|> 
  $|\M| <= \lambda$\<,|>
  \<there exists a subset|es eine Menge> $\Xi_\M (= S_1(\M)$ <|with|> 
  $|\Xi_\M| <= \lambda$
  \<such that for any|gibt, sodass für jedes>
  $A (= \M$ <|with|> $|A| <= \kappa$
  \<we have|es> $|_A(\Xi_\M) = S_1(A)$\<| gilt>.

  \<Then|Dann hat> $T$ \<has a|ein> $\kappa^+$-\<saturated|saturiertes> 
  \<model of cardinality|Modell der Mächtigkeit> $\lambda+\kappa^+$.
  .
Corollary|Korollar{satExists}:
  <|Let|> $T$ \<be a theory with infinite models|eine Theorie mit unendlichen 
  Modelle>.

  \<For any infinite cardinal|Für jede unendliche Kardinalzahl> $\kappa >= 
  |T|$\<,| hat>
  $T$ \<has a|ein> $\kappa^+$-\<saturated|saturiertes> \<model of 
  cardinality|Modell der Mächtigkeit> $2^\kappa$.

  \<In particular,|Insbesondere hat>
  $T$ \<has a|ein> $\mu$-\<saturated|saturiertes> \<model for any infinite 
  cardinal|Modell für jede unendliche Kardinalzahl> $\mu$.
  .
Proof:
  \<If|Seien> $\M |= T$ <|with|> $|\M| <= \lambda$ und $A (= \M$ <|with|> $|A| 
  <= \kappa$\<,|.>
  \<then|Dann> $|S_1(A)| <= 2^{|T_A|} = 2^{|T| + |A|} <= 2^{\kappa}$.
  \<Meanwhile|Außerdem> $$|{ A (= \M : |A| <= \kappa }| <= |\M|^\kappa <= 
  (2^{\kappa})^\kappa = 2^{\kappa\cdot \kappa} = 2^\kappa .$$

  \<Then|Daher> $$|{ \bigcup_{A (= \M;\; |A| <= \kappa} S_1(A) }| <= 
  2^\kappa\cdot 2^\kappa = 2^\kappa = \lambda .$$
  \<So we can find|Also gibt es> $|\Xi_\M| <= \lambda$ \<as required|wie 
  gewünscht>.

  \<Finally,|Schließlich:> $2^\kappa + \kappa^+ = 2^\kappa$.
  .
Bemerkung:
  \<It follows that if|Es folgt, dass wenn> $\lambda^+ = 2^\lambda$,
  \<e.g. if we assume GCH, then |insbesondere wenn wir GCH annehmen, hat>
  $T$ \<has a saturated model of cardinality|ein saturietes Modell der 
  Mächtigkeit> $\lambda^+$.
  \<But (under a ``reasonable'' large cardinal assumption) it is consistent 
  with%
  |Aber es ist
  (unter der Annahme der Existenz einer ``vernünftigen'' großen
  Kardinalzahl) mit>
  $\ZFC$ \<that no infinite|konsistent, dass keine unendliche Kardinalzahl> 
  $\lambda$ \<exists with|existiert mit> $2^\lambda = \lambda^+$.
  % (with a large cardinal assumption, it is proven to be equiconsistent with 
  % ZFC that there is no such \lambda)
  .
\begin{proof}[\<Proof of|Beweis von> Proposition~{satExists}]
  \<We build an elementary chain|Wir konstruieren eine elementare Kette> 
  $(\M_\alpha)_{\alpha (- \kappa^+}$ \<of models of cardinality|von Modelle 
  der Mächtigkeit> $\lambda$.

  <|Let|> (\<by|nach> Löwenheim-Skolem) $\M_0 |= T$ <|with|> $|\M_0| = 
  \lambda$.
  <|For|> $\eta (- \kappa^+$ \<a limit ordinal,|eine Limeszahl>
  <|set|> $\M_\eta := \bigcup_{\alpha < \eta} \M_\alpha$.
  \<By|Nach> Lemma~{elemChain}\<,|> $\M_\eta >~ \M_\alpha$ <|for|> $\alpha < 
  \eta$.
  <|Since|> $|\eta| <= \kappa <= \lambda$,
  \<we have|gilt> $|\M_\eta| = \lambda$.

  \<Given|Sei> $\M_\alpha$\<,| konstruiert.>
  \<By|Nach> Lemma~{realiseAll} <|and|> Löwenheim-Skolem
  \<there is|gibt es> $\M_{\alpha+1} >~ \M_{\alpha}$ <|with|> $|\M_{\alpha+1}| 
  = \lambda$\< which realises every type in|, das jeden Typ in> 
  $\Xi_{\M_{\alpha}}$\<, and hence every type| und also jeden Typ> in $S_1(A)$ 
  for $A (= \M_{\alpha}$ with $|A| <= \kappa$\<| realisiert>.

  \<Now let|Nun sei> $\M := \bigcup_{\alpha (- \kappa^+} \M_{\alpha}$.
  <|Then|> $\lambda <= |\M| <= \lambda\cdot\kappa^+ = \lambda + \kappa^+$.

  \<If|Sei> $A (= \M$ <|with|> $|A| < \kappa^+$\<,
  then since|. Weil> $\kappa^+$ \<is a successor cardinal and hence is 
  regular,
  already|eine Nachfolgerkardinalzahl also regulär ist, ist> $A (= \M_\alpha$ 
  \<for some|für ein> $\alpha (- \kappa^+$.
  \<So any|Somit ist jedes> $p (- S(A)$\< is realised|> in $\M_{\alpha+1} ~< 
  \M$ \<and hence|also> in $\M$\<| realisiert>.
  \<Hence|Daher ist> $\M$\< is|> $\kappa^+$-<|saturated|>.

  \<It follows that|Es folgt, dass> $|\M| >= \kappa^+$,
  \<so|also> $|\M| = \lambda + \kappa^+$.
\end{proof}

## Stability
Definition:
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.

  \<A structure|Eine Struktur> $\M$ \<is|heißt> 
  \defn{$\kappa$-<|stable|>}\<|,>
  <|if|> $|S_1(A)| <= \kappa$ \<for all|für alle> $A (= \M$ <|with|> $|A| <= 
  \kappa$.

  \<A theory|Eine Theorie> $T$ \<is|heißt> \defn{$\kappa$-<|stable|>}\<|,>
  \<if it has infinite models and every|wenn es unendliche Modelle hat und 
  jedes Modell> $\M |= T$\< is|> $\kappa$-<|stable|>\<| ist>.
  % FIXME: why did I include this infinite models assumption? Without also 
  % assuming completeness, it's just ugly...

  \<A model or theory is #stable# if it is $\kappa$-stable for some infinite 
  cardinal $\kappa$.
  |Ein Modell oder eine Theorie heißt #stabil#, wenn es $\kappa$-stable ist 
  für eine unendliche Kardinalzahl $\kappa$.>

  \<We often write|Wir oft schreiben> $\omega$-<|stable|> \<for|statt> 
  $\aleph_0$-<|stable|>.
  .

Example|Beispiel:
  $T_\infty$ <|and|> $T_{(\Q;+)}$ \<are|sind> $\omega$-<|stable|>.

  $DLO$ \<is not stable|ist nicht stabil>.
  .

Corollary|Korollar[\bi{of}{von} Proposition~{satExists}]:
  \<\label{c:satStable}|\label{k:satStable}>
  <|Let|> $T$ \<be|eine> $\lambda$-<|stable|>\<| Theorie>, <|where|> $\lambda 
  >= |T|$.
  ***(i)
  $T$ \<has a saturated model of cardinality|besitzt eine saturiertes Modell 
  der Mächtigkeit> $\lambda^+$.
  **(ii)
  <|Let|> $\kappa < \lambda$.
  \<Then|Dann besitzt> $T$
  \<has a $\kappa^+$-saturated model of cardinality|ein $\kappa^+$-saturiertes 
  Modell der Mächtigkeit> $\lambda$.
  *ee*
  .
Proof:
  <|Let|> $\kappa <= \lambda$.
  \<By Proposition~{satExists},|Nach Proposition~{satExists}> <|with|> $\Xi_\M 
  := S_1(\M)$\<, there is a| gibt es ein>
  $\kappa^+$-\<saturated model of cardinality|saturiertes Modell der 
  Mächtigkeit> $\lambda + \kappa^+$.

  \<Then (i) follows by taking|Dann folgt (i) mit> $\kappa := \lambda$,
  \<and (ii) with|und (ii) mit> $\kappa < \lambda$.
  .

## QE <|and|> <|saturation|>

Notation:--
  ***)
  \<Let|Sei> $\M$ \<an|eine> $\L$-<|structure|>.
  <|For|> $\b (- \M^{<\omega}$,
  $$ \qftp^\M(\b/A) := \{ \phi(\x) : \phi \text{ qf $\L(A)$-<|formula|>};\; \M 
  |= \phi(\b) \} .$$

  ** \<Let|Seien> $\M_1,\M_2$ \<be|> $\L$-<|structures|>.
  <|For|> $\b_i (- \M_i^{<\omega}$
  \<we write|bedeutet>
  $$\b_1 == \b_2\<|,>$$
  \<when|dass> $\tp^{\M_1}(\b_1) = \tp^{\M_2}(\b_2)$,
  \<and we write|und>
  $$\b_1 ==^\qf \b_2$$
  \<when|bedeutet, dass> $\qftp^{\M_1}(\b_1) = \qftp^{\M_2}(\b_2)$.

  ** \<If|Wenn> $A (= \M_1,\M_2$ \<is a common subset|eine gemeinsame 
  Teilmenge ist>,
  \<we write|bedeutet>
  $$\b_1 ==_A \b_2\<|,>$$
  \<when|dass> $\tp^{\M_1}(\b_1/A) = \tp^{\M_2}(\b_2/A)$;
  ähnlich für $\b_1 ==^\qf_A \b_2$.

  %(\<Equivalently,|Dazu äquivalent:>
  %$(\M_1;\b_1) == (\M_2;\b_2)$)
  *e)*
  .

Remark|Bemerkung:--
  ***) $\b_1 == \b_2$ \<iff|genau dann, wenn> $\b_1 |-> \b_2$ \<defines a 
  partial elementary map|eine partielle elementare Abbildung> $\M_1 \dasharrow 
  \M_2$\<| definiert>.

  ** $\b_1 ==^\qf \b_2$ \<iff|genau dann, wenn> $\b_1 |-> \b_2$
  \<defines a partial isomorphism|einen partiellen Isomorphismus>
  $\M_1 \dasharrow \M_2$\<| definiert>.
  *e)*
  .

Proposition{QEwsat}:
  <|Let|> $T$ \<be a theory|eine Theorie>.
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i) $T$ \<has|besitzt> QE;
  **(ii)
    \<Let|Seien> $\M_1,\M_2 |= T$ \<be|> $\kappa$-\<saturated|saturierte> 
    \<models|Modelle>, $\a_i (- \M_i^{<\omega}$ <|with|> $\a_1 ==^\qf 
    \a_2$\<,|>
    <|and|> $b_1 (- \M_1$.

    \<Then there exists|Dann gibt es> $b_2 (- \M_2$
    <|with|> $\a_1b_1 ==^\qf \a_2b_2$.
    % (in fact only M_2 has to be w-saturated, but it's probably nicer to keep 
    % it symmetric)
  *ee*
  .
Proof:--
  ***)[(i) $==>$ (ii)]
    <|Let|> $\th : \a_1 |-> \a_2$.
    \<This is a partial isomorphism, so by QE it is partial elementary.
    |Dies ist ein partieller Isomorphismus, also durch QE ist es partiell 
    elementar.>
    \<Hence|Daher ist> (\<by|nach> Lemma~{conjPE}) $\tp(b_1/\a_1)^\th$ \<a 
    type in|ein Typ in> $S^{\M_2}(\a_2)$.
    \<So by|Somit ist es nach> $\aleph_0$-<|saturation|> <|of|> $\M_2$\<, it 
    is realised in $\M_2$, say by $b_2 (- \M_2$.
    |in $\M_2$ realisiert; sei $b_2 (- \M_2$ eine Realisierung.>
    <|Then|> $\a_1b_1 == \a_2b_2$.

  **[(ii) $==>$ (i)]
    \<We verify|Wir verifizieren> QE via 
    \<Theorem~{QECrit}(iii)|Satz~{QECrit}(iii)>.
      
    \<Let|Seien> $\A = <{ \a }> <= \M_1,\M_2 |= T$ \<be a common finitely 
    generated substructure of two models of $T$,
    |eine gemeinsame Unterstruktur von Modelle von $T$>
    <|and|> $\exists y\. \psi(\x,y)$ \<a primitive existential formula,|eine 
    primitiv existentielle Formeln>
    <|and|> $b_1 (- \M_1$ <|with|> $\M_1 |= \psi(\a,b_1)$.

    \<By Corollary~{satExists}, we can find $\kappa$-saturated elementary 
    extensions
    |Nach Korollar~{satExists} finden wir $\kappa$-saturierte elementare 
    Erweiterungen> $\M_i' >~ \M_i$.
    \<By (ii), there is|Durch (ii) gibt es> $b_2 (- \M_2'$ <|with|> $\a b_1 
    ==^\qf \a b_2$,
    \<hence|also> $\M_2 |= \exists y\. \psi(\a,y)$\<, as required| wie 
    gewünscht>.
  *e)*
  .

!newop DOAG
!newop AbGrp

\newcommand{\QVR}{{\Q-\VS}}
\newcommand{\GQVR}{{\textrm{\<o|g>}\QVR}}
\newcommand{\TGQVR}{T_\GQVR}

Example|Beispiel:
  \<An \emph{ordered $\Q$-vector space} is a $\Q$-vector space with a linear 
  ordering $<$ such that
  |Ein \emph{geordneter $\Q$-Vektorraum} ist ein $\Q$-Vektorraum mit einer
  linearen Ordnung $<$, sodass>
  \[ \forall x,y,z\. (x<y --> x+z<y+z) .\]
  <|Let|> $\TGQVR$ \<be the|die> $\{0,+,(q\cdot)_{q (- \Q},<\}$-<|theory|>\< 
  consisting of this axiom along with axioms for non-trivial $\Q$-vector 
  spaces.
  |, die aus dies Axiom und eine Axiomatisierung für nicht-triviale 
  $\Q$-Vektorräume besteht.>

  Claim|Behauptung*:
    $\TGQVR$ \<has QE and is complete|besitzt QE und ist vollständig>.
    .
  Proof:
    \<Completeness follows from QE via Corollary~{QEComp},
    |Vollständigkeit folgt aus QE via Korollar~{QEComp},>
    <|since|> $<{ {} }>^\M = \{ 0 \}$ \<for any|für jedes> $\M |= \TGQVR$.

    <|Let|> $\M_1,\M_2 |= \TGQVR$ \<be|> $\aleph_1$-<|saturated|>.
    <|Let|> $\a_i (- \M_i^{<\omega}$ <|with|> $\a_1 ==^{\qf} \a_2$.
    <|Let|> $b_1 (- \M_1$.

    \<A qf-type|Jeder qf-Typ> $\qftp(b/\a)$ \<is determined by the formulas of 
    form|ist durch die Formeln von Form>
    $x = \sum q_i\cdot a_i$ <|or|> $x < \sum q_i\cdot a_i$ <|or|> $x > \sum 
    q_i\cdot a_i$\<| bestimmt>.

    <|Let|> $\A_i := <{ \a_i }>^{\M_i}$
    \<Then|Dann erzeugt> $\a_1 |-> \a_2$ \<generates an order 
    isomorphism|einen Isomorphismus> $\th : \A_1 --> \A_2$.
    \<Note that the reduct|Beachte, dass das Redukt> $\M_i|_<$ <|of|> $\M_i$ 
    \<to an order is a model of $\DLO$|zu eine Ordnung $\DLO$ erfüllt>.
    \<So by QE for $\DLO$, $\th$ is a partial elementary map of linear orders 
    |Daher durch QE für $\DLO$ ist $\th$ eine partiell elementare Abbildung 
    von lineare Ordnungen>
    $\th : \M_1|_< \dasharrow \M_2|_<$, \<so|also ist>
    $(\tp^{\M_1|_<}(b_1/\A_1))^\th$ \<is a type in|ein Typ in> 
    $S_1^{\M_2|_<}(\A_2)$.
    \<By|Durch> $\aleph_1$-<|saturation|> <|of|> $\M_2$\<, say| sei> $b_2 (- 
    \M_2$ \<realises this type|eine Realisierung von dies Typ>.

    <|Then|> $\a_1b_1 ==^{\qf} \a_2b_2$.
    .
  
  \<One can deduce that|Eine Folgerung ist, dass>
  \<the|die> $\{0,+,<\}$-<|theory|> $\DOAG$ \<of linearly ordered divisible 
  abelian groups (e.g.|von linear geordnete teilbare abelesche Gruppen (Z.B.>
  $(\Q;0,+,<)$) \<is complete and has QE|vollständig ist und QE besitzt>.
  .

## Bonus: Monsters

Definition:
  \<A structure|Eine Struktur> $\M$ \<is|heißt> \defn{\<strongly|stark> 
  $\kappa$-<|homogeneous|>},
  \<if any partial elementary map|wenn jede partiell elementare Abbildung> 
  $\th : \M \dasharrow \M$ <|with|> $|\dom{\th}| < \kappa$ \<extends to an 
  automorphism of $\M$.
  |zu einen Automorphismus von $\M$ sich erweitern lässt.>

  $\M$ \<is|heißt> \defn{\<strongly|stark> $\kappa$-<|saturated|>}\< if it 
  is|, wenn es>
  $\kappa$-<|saturated|> <|and|> <|strongly|> $\kappa$-<|homogeneous|>\<| 
  ist>.
  .

Proposition:
  \<If a structure|Wenn eine Struktur> $\M$ \<is saturated, it is|saturiert 
  ist, ist es> <|strongly|> $|\M|$-<|saturated|>.
  .
Proof:
  As in <|Exercise|> 7.2(a).

  Briefly:\
  If $\th : \M \dasharrow \M$ is partial elementary and $|\dom\th| < |\M|$,
  then $\th$ induces an elementary equivalence between the expansions by 
  constants $\M_{\dom\th} == \M_{\im\th}$;
  but these structures are also saturated, so by Lemma~{satIsom} they are 
  isomorphic. An isomorphism between these structures is an automorphism of 
  $\M$ extending $\th$.
  .

Theorem{monsters}:
  <|Let|> $T$ \<be a theory with infinite models|eine Theorie mit unendlichen 
  Modelle>.
  <|Let|> $\lambda$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<Then|Dann besitzt> $T$ \<has a|ein> <|strongly|> 
  $\lambda$-\<saturated|saturiertes> \<model|Modell>.
  .
Proof:
  Increasing $\lambda$, we may assume $\lambda >= |T|$
  and $\lambda$ is regular.

  Let $\M_0 |= T$ with $|\M_0| > \lambda$.
  By \<Corollary~{satExists}|Korollar~{satExists}> we may extend to an 
  elementary chain
  $(\M_\alpha)_{\alpha (- \lambda}$
  such that each $\M_{\alpha+1}$ is $|\M_{\alpha}|^+$-saturated,
  and for $\eta$ a limit ordinal
  $\M_{\eta} = \bigcup_{\alpha<\eta} \M_\alpha$.

  Let $\M := \bigcup_{\alpha (- \lambda} \M_\alpha$.
  Then $\M$ is $\lambda$-saturated since each $\M_{\alpha+1}$ is
  and $\lambda$ is regular.
  
  Now let $\th : \M \dasharrow \M$ be partial elementary
  with $|\dom{\th}| < \lambda$.
  Since $\lambda$ is regular, for some $\alpha (- \lambda$
  we have $\th : \M_\alpha \dasharrow \M_\alpha$,
  i.e. $\dom{\th} \cup \im{\th} (= \M_\alpha$.
  Let $\th_\alpha := \th$.

  %Now $\M_{\alpha+1}$ is $|\M_\alpha|$-saturated,
  %so $\th_\alpha$ extends to an elementary embedding $\th_{\alpha+1}' : 
  %\M_\alpha (-~<-> \M_{\alpha+1}$;
  %indeed, $\th_\alpha$ induces an $\L(\dom{\th_\alpha})$-structure 
  %$(\M_{\alpha+1})_\th$, which is also $|\M_\alpha|$-saturated and hence 
  %$|\M_\alpha|^+$-universal,
  %so there is $\th_{\alpha+1}' : (\M_\alpha)_{\dom{\th_\alpha}} (-~<-> 
  %(\M_{\alpha+1})_\th$, which therefore extends $\th_\alpha$ as required.
  %FIXME: neater way to write that?
  %Similarly, we can extend $\th_{\alpha+1}'$ to $\th_{\alpha+1}$ with 
  %$M_\alpha (= \im{\th_{\alpha+1}}$.
  %FIXME: explain.

  Now $\M_{\alpha+1}$ is $|\M_\alpha|$-saturated,
  so as in the proof of Lemma~{satUniv},
  $\th_\alpha$ extends to a partial elementary map $\th_{\alpha+1} : 
  M_{\alpha+1} \dasharrow M_{\alpha+1}$
  with $M_\alpha (= \dom{\th_{\alpha+1}}$
  and also $M_\alpha (= \im{\th_{\alpha+1}}$.

  We obtain in this way, taking unions at limit ordinals, an increasing chain 
  $(\th_\beta)_{\alpha<=\beta (- \lambda}$ of partial elementary maps 
  $\th_\beta : \M_\beta \dasharrow \M_\beta$ with each $\M_\beta (= 
  \dom{\th_{\beta+1}} \cap \im{\th_{\beta+1}}$.

  Then $\sigma := \bigcup_\beta \th_\beta (- \Aut(\M)$ as required.
  .

% NOTE: I decided, after some oscillation, not to work in a monster model for 
% the material on Baldwin-Lachlan. But this does lead to some substantial 
% unpleasantness, not least in the abuse of notation required to keep it 
% manageable (e.g. talking about p.e. maps A --> B without the models they're 
% in being part of the notation). On balance, I think it would have been 
% better to work in a monster model at this point, and explain in as 
% handwaviless way as possible that one doesn't need to worry that we're going 
% to talk as if every model is embedded in the monster when this isn't 
% actually true. See branch 'monster' for a partial implementation.

%# Scraps

%Remark:
  %<|Let|> $\a (- \M^{<\omega}$.
  %$\phi(\x) (- \tp(\a)$ <|isolates|> $\tp(\a)$ <|iff|>
  %<|for|> \<any|jedes> $\M' == \M$ <|and|> $\a' (- \M'^{|\a|}$\<,|:>
  %\<if|Wenn> $\a' (- \phi(\M')$\< then|, gilt> $\a' == \a$.
  %.

# $\omega$-<|stability|>

<|Let|> $T$ \<be a complete $\L$-theory with infinite models|eine vollständige 
$\L$-Theorie mit unendlichen Modelle>.

Lemma{stabNTypes}:
  $T$ \<is|ist> $\kappa$-<|stable|> \<iff|genau dann, wenn>
  \<for all|für alle> $A (= \M |= T$ <|with|> $|A| <= \kappa$\<, we have| 
  gilt> $|S(A)| <= \kappa$.

  \<In particular,|Insbesondere ist> $T$ \<is|> $\omega$-<|stable|> 
  \<iff|genau dann, wenn> $\Th(\M_A)$ \<is small for all|schmal für alle> $A 
  (= \M |= T$ <|with|> $|A| = \aleph_0$\<| ist>.
  .
Proof:
  \<We show by induction that|Wir zeigen durch Induktion, dass für alle $n$> 
  $|S_n(A)| <= \kappa$\< for all $n$|>.
  <|For|> $n=1$\<, this is the definition of| ist dies die Definition von>
  $\kappa$-<|stability|>.

  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $|S_n(A)| <= \kappa$.
  \\\<|Let|> $\N >~ \M$ \<be|> $\kappa^+$-<|saturated|>.
  \\\<|Let|> $(\b_i (- \N^n)_{i (- \kappa}$\< be such that|, sodass> $\{ 
  \tp(\b_i/A) : i (- \kappa \} = S_n(A)$.
  \\\<|Let|> $\b c (- \N^{n+1}$.
  \\\<|Then|> $\b c ==_A \b_i c'$ \<for some|für ein> $i (- \kappa$ \<and|und 
  ein> $c' (- \N$.
  \\\\<For each|Für jedes> $i (- \kappa$ \<there are at most|gibt es 
  höchstens> $|S_1(A \cup \b_i)| <= \kappa$ \<possibilities for|Möglichkeiten 
  für> $\tp(c'/\b_i)$.
  \\\<|So|> \<|gilt> $|S_{n+1}(A)| <= \kappa \cdot \kappa = \kappa$.
  .
  
Definition:
  $T$ \<is|heißt> \defn{\<totally transcendental|total transzendent>}\< if for 
  any|, wenn für jedes> $\M |= T$\<, there is no binary tree| gibt es keinen 
  binären Baum> $(\phi_s)_{s (- 2^{<\omega}}$ \<of formulas for|von Formeln 
  für> $\Th(\M_\M)$.
  .

Theorem|Satz{wstabtt}:--
  ***(a) \<If $T$ is $\omega$-stable then $T$ is totally transcendental.
  |Wenn $T$ $\omega$-stabil ist, ist $T$ total transzendent.>
  **(b) \<If|Wenn> $T$ \<is totally transcendental then|total transzendent 
  ist, ist> $T$ \<is|> $\kappa$-<|stable|> \<for all|für alle> $\kappa >= 
  |T|$.
  *ee*
  .
Corollary|Korollar{wstabtt}:
  \<Suppose|Angenommen> $|T| = \aleph_0$.
  \<TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i) $T$ <|is|> $\omega$-<|stable|>;
  **(ii) $T$ <|is|> \<totally transcendental|total transzendent>.
  **(iii) $T$ <|is|> $\kappa$-<|stable|> \<for all|für alle> $\kappa >= 
  \aleph_0$.
  *ee*
  .
\begin{proof}[\<Proof of Theorem~\ref{t:wstabtt}|Beweis von 
  Satz~\ref{s:wstabtt}>]\mbox{ }
  ***(a)
  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $\M |= T$ <|and|> $\Th(\M_\M)$ \<has a binary 
  tree of formulas|einen binären Baum von Formeln> $(\phi_s)_{s (- 
  2^{<\omega}}$\<| besitzt>.
  \<Since|Weil> $|2^{<\omega}| = \aleph_0$, \<there exists|gibt es> $A (= \M$ 
  <|with|> $|A| <= \aleph_0$\< such that each|, sodass jedes> $\phi_s$ \<is 
  a|ein> $\L(A)$-<|formula|>\<, and so|ist, also> $(\phi_s)_s$ \<is also a 
  binary tree of formulas for|auch ein binärer Baum von Formeln für> 
  $\Th(\M_A)$\<| ist>.
  \<Then by|Dann nach> Lemma~{smallBin}\<,| gilt> $|S^\M(A)| = |S(\Th(\M_A))| 
  = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$,
  \<so|also> $T$ \<is not|ist nicht> $\omega$-<|stable|>.

  **(b)
  (cf. <|Exercise|> 6.1(a))

  <|Let|> $A (= \M |= T$ <|with|> $|A| <= \kappa$.
  <|For|> $\phi(x)$ \<an|eine> $\L(A)$-<|formula|>\<, define| setze> 
  $[\phi(x)] := \{ p (- S_1(A) : \phi(x) (- p(x) \}$.

  Claim|Behauptung*:
    \<If|Wenn> ${| [\phi(x)] |} > \kappa$,
    \<then there is an|gibt es eine> $\L(A)$-<|formula|> $\psi(x)$,
    \<such that|sodass> $|[\phi(x) /\ \psi(x)]| > \kappa < |[\phi(x) /\ 
    \neg\psi(x)]|$.
    .
  Proof:
    \<Say|Nenne> $p (- S_1(A)$ \<is /small/ if|{\em klein}, wenn> $\exists 
    \psi (- p\. |[\psi]| <= \kappa$.
    \<There are at most|Es gibt höchstens> $|\Th(\M_A)| \cdot \kappa <= \kappa 
    \cdot \kappa = \kappa$ \<small types|kleine Typen> in $S_1(A)$.
    \<Hence there are distinct non-small types|Daher gibt es verschiedene 
    nicht-kleine Typen> $p_1,p_2 (- [\phi(x)]$.
    <|Let|> $\psi(x) (- p_1(x) \\ p_2(x)$;
    <|then|> $\phi(x) /\ \psi(x) (- p_1(x)$
    <|and|> $\phi(x) /\ \neg\psi(x) (- p_2(x)$,
    \<so|also> $\psi$ \<is as required|ist wie gewünscht>.
    .

  \<Now if|Wenn> $|[x.=x]| = |S_1(A)| > \kappa$,
  \<we build a binary tree with|konstruieren wir einen binären Baum mit> 
  $|[\phi_s]| > \kappa$ \<for all|für alle> $s (- 2^{<\omega}$:
  <|set|> $\phi_{} := x.=x$;
  \<given|sei> $\phi_s$\<,| konstruiert und> \<let|setze> $\phi_{s0} := \phi_s 
  /\ \psi$ <|and|> $\phi_{s1} := \phi_s /\ \neg\psi$, <|where|> $\psi$ \<is as 
  in the claim|wie in die Behauptung ist>.
  *ee*
\end{proof}

## \<Constructibility|Konstruierbarkeit>

Notation:
  \<If|Seien> $A (= \M |= T$ <|and|> $\N |= T$\<,|.>
  \<we call a map|Wir nennen eine Abbildung> $\th : A --> \N$ \emph{\<partial 
  elementary|partiell elementar>} (\emph{p.e.}) <|and|> \<write|schreiben> 
  $\th : A -==-> \N$,
  \<if the corresponding partial map|wenn die entsprechend partielle 
  Abbildung> $\th : \M \dasharrow \N$ \<is p.e.|p.e. ist>.
  .

Remark|Bemerkung{peDiag}:
  $\th : A --> \N |= T$ \<is p.e.|p.e. ist>
  <|iff|> $\N_{A,\th} == \M_A$, <|where|> $\N_{A,\th}$ \<is the|die> 
  $\L(A)$-<|structure|> \<defined by|definiert durch> $a^{\N_\th(A)} := 
  \th(a)$\<| ist>.
  .

Definition:
  \<Let|Seien> $A (= \M |= T$.
  \<Then|Dann ist> $\M$ \<is \defn{prime over}|\defn{prim über}> $A$\< if 
  every p.e. map|, wenn jede p.e. Abbildung> $A -==-> \N |= T$ \<extends to an 
  elementary embedding|sich zu einer elementaren Einbettung> $\M (-~<-> \N$\<| 
  erweitern lässt>.
  .

Remark|Bemerkung{primeDiag}:
  \<Let|Seien> $A (= \M |= T$.
  \<Applying Remark~{peDiag}, we find that|Durch Bemerkung~{peDiag} finden 
  wir, dass>
  $\M$ \<is prime over|prim über> $A$
  \<iff|genau dann ist, wenn> $\M_A$ \<is a prime model of|ein Primmodell von> 
  $\Th(\M_A)$\<| ist>.
  .

Remark|Bemerkung:
  \<By|Nach> Proposition~{smallPrime} <|and|> Proposition~{primeUnique}\<,
  a countable| besitzt jede abzählbare> $\omega$-<|stable|> <|theory|> \<has a 
  unique prime model over any /countable/ set|ein eindeutig bestimmtes 
  Primmodell über jede /abzählbare/ Menge> $A (= \M |= T$.

  \<In fact this holds also for uncountable|Tatsächlich gilt dies auch für 
  überabzählbares> $A$.
  \<We prove existence in this section|Wir beweisen herunter Existenz>.
  \<Uniqueness requires further work|Eindeutigkeit braucht mehr Arbeit>.
  .

Definition:
  \<If|Seien> $A (= B (= \M |= T$\<,|.>
  \<then|Dann heißt> $B$ \<is #constructible# over|\defn{konstruierbar} über> 
  $A$\< if $B$ can be enumerated as|, wenn $B$ als> $(b_\alpha)_{\alpha < 
  \gamma}$
  \<for some ordinal|für eine Ordinalzahl> $\gamma$\<,| aufgezählt werden 
  kann,>
  \<such that for all|sodass für alle> $\alpha < \gamma$
  \<the type|der Typ>
  $\tp(b_\alpha / A\cup b_{<\alpha})$ \<is isolated|isoliert ist>,
  <|where|> $b_{<\alpha} := \{ b_\beta : \beta < \alpha \}$.
  .

Lemma{constPrime}:
  \<If|Sei> $\M |= T$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A (= 
  \M$\<,|.>
  \<then|Dann ist> $\M$ \<is prime over|prim über> $A$.
  .
Proof:
  \<Suppose|Sei> $\th_0 : A -==-> \N |= T$.
  \<We construct a chain of p.e. maps|Wir konstruieren eine Kette von p.e. 
  Abbildungen> $\th_\alpha : A \cup b_{<\alpha} -==-> \N |= T$
  <|for|> $\alpha <= \gamma$.
  \<Then|Dann ist> $\th_\gamma : \M (-~<-> \N$
  \<is an elementary embedding|eine elementare Einbettung ist>.

  <|For|> $\eta (- \gamma$ \<a limit ordinal,|eine Limeszahl setze> $\th_\eta 
  := \bigcup_{\alpha (- \eta} \th_\alpha$.

  \<Given|Sei> $\alpha < \gamma$ \<and|und sei> $\th_\alpha$\<, let| 
  konstruiert. Dann setze> $\th_{\alpha+1}(b_\alpha)$ \<be a realisation in 
  $\N$ of the isolated type|auf eine Realisierung in $\N$ des isolierten Typs> 
  $\tp(b_\alpha/A\cup b_{<\alpha})^{\th_\alpha}$.
  .

Lemma{ttIsolDense}:
  \<If|Angenommen, dass> $T$ \<is totally transcendental|total transzendent 
  ist.> \<and|Sei> $A (= \M |= T$\<,|.>
  \<then the isolated types are dense in|Dann sind die isolierte Typen dicht 
  in> $S(A)$.
  .
Proof:
  \<Immediate consequence of|Folgt sofort aus> Lemma~{denseBin}(i).
  .

Theorem|Satz{ttConst}:
  \<If|Angenommen, dass> $T$ \<is totally transcendental|total transzendent 
  ist.> \<and|Sei> $A (= \N |= T$\<,|.>
  \<then $T$ has a constructible prime model
  |Dann hat $T$ ein konstruierbares Primmodell>
  $A (= \M <~ \N$ <|over|> $A$.
  .
Proof:
  % FIXME: this proof is a bit elliptical in places, in particular it uses 
  % without mention that A (= M. See 
  % ~/maths/latex/proposals/vienna22/teachingTalk/ .
  \<A|Eine> \emph{\<construction sequence|Konstruktion>} <|over|> $A$ \<is a 
  sequence|ist eine Reihenfolge>
  $(b_\alpha)_{\alpha<\gamma}$\<with each|, in dem jeder Typ>
  $\tp(b_\alpha/A\cup b_{<\alpha})$ \<isolated|isoliert ist>.

  \<By Zorn,|Nach dem Zornschen Lemma> \<there is a maximal construction 
  sequence|gibt es eine maximale Konstruktion> $(b_\alpha)_{\alpha < \gamma}$ 
  in $\N$.
  <|Let|> $M := b_{<=\gamma} (= \N$.
  \<We show by the Tarski Test that|Wir zeigen mit dem Tarski-Test, dass> $M$ 
  \<is the domain of an elementary substructure|die Grundmenge einer 
  elementaren Unterstruktur> $\M <~ \N$, \<which is constructible over $A$ and 
  hence by Lemma~{constPrime} prime over $A$, as required.
  |die konstruierbar über $A$ also (nach Lemma~{constPrime}) prim über $A$ 
  ist, ist, wie gewünscht.>

  \<So let|Sei> $\phi(x)$ \<be an|eine> $\L(B)$-<|formula|>\< such that|, 
  sodass> $\N |= \exists y. \phi(x)$.
  \<By|Nach> Lemma~{ttIsolDense}\<, let| sei> $p(x) (- S(B)$ \<be isolated 
  with|isoliert mit> $p(x) |- \phi(x)$.
  <|Let|> $c (- \N$ \<realise|eine Realisierung von> $p$.
  \<If|Wenn> $c (/- B$ \<then we could extend the construction sequence by 
  setting|könnten wir die Konstruktion mit> $b_\gamma := c$\<| verlängern>, 
  \<contradicting maximality|was Maximalität widerspricht>.
  \<So|Somit gilt> $c (- B$\<, and| und> $\N |= \phi(c)$, \<as required|wie 
  gewünscht>.
  .

Lemma{constTrans}:
  <|Let|> $A (= B (= C (= \M |= T$.
  \<Suppose|Angenommen, dass> $C$ \<is constructible over|konstruierbar über> 
  $B$ <|and|> $B$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A$\<| sind>.
  \<Then|Dann ist> $C$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A$.
  .
Proof:
  <|Exercise|>.
  %\<If|Wenn> $B = (b_i)_{\alpha<\gamma}$ \<is a construction over|eine 
  %Konstruktion über> $A$ \<and|ist und> $C = (c_i)_{\alpha<\gamma'}$
  %\<is a construction over|eine Konstruktion über> $B$\<|ist>,
  %\<then the concatenation|ist die Konkatenation> 
  %$(d_\alpha)_{\gamma+\gamma'}$, $d_\alpha = b_\alpha; d_{\gamma+alpha} = 
  %c_\alpha$, \<a construction over|eine Konstruktionen über> $A$.
  %\<Deleting repetitions to obtain an enumeration of $C$.
  %|Lösche Wiederholungen, um eine Aufzählung von $C$ zu erhalten>.
  .

%## Bonus: \<atomicity and constructibility|Atomizität und Konstruierbarkeit>

Definition*:
  \<If|Seien> $A (= B (= \M |= T$\<,|.>
  \<then|Dann heißt> $B$ \defn{\<atomic over|atomar über>} $A$
  \<if|, wenn> $\tp(\b/A)$ \<is isolated for all|isoliert für alle> $\b (- 
  \B^{<\omega}$\<| ist>.
  .

Lemma{constAtom}:
  %***(i)
  \<If|Sei> $\M |= T$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A (= 
  \M$\<,|.>
  \<then|Dann ist> $\M$ \<is atomic over|atomar über> $A$.
  %**(ii)
  %\<If|Angenommen, dass> $T$ \<is totally transcendental|total transzendent 
  %ist.> \<and|Sei> $\M |= T$ \<is prime over|prim über> $A (= \M$\<,|.>
  %\<then|Dann ist> $\M$ \<is atomic over|atomar über> $A$.
  %*ee*
  .
Proof:
  %***(i)
    <|Say|> $\M = (b_\alpha)_{\alpha < \gamma}$ <|with|> $\tp(b_\alpha/A\cup 
    b_{<\alpha})$ \<isolated|isoliert>.
    \<Let|Sei> $\b (- \M^{<\omega}$.
    \<Permuting, we may assume|Durch eine Permutation nehmen wir an, dass>
    $\b = b_\alpha \b'$, <|where|> $\b' (- b_{<\alpha}^{<\omega}$.
    \<Inductively, we may assume that|\?Induktiv können wir annehmen, dass> 
    $b_{<\alpha}$ \<is atomic over $A$|atomar über $A$ ist>.

    \<Now|Nun ist> $\tp(\b_\alpha/A \cup b_{<\alpha})$ \<isolated by 
    some|durch eine> $\L(A\cup \c)$-<|formula|>\<| isoliert>, <|where|> $\c 
    (- b_{<\alpha}^{<\omega}$.
    \<Then|Dann ist> $\tp(\b_\alpha/A \cup \b\c)$ \<isolated|isoliert>.
    \<By atomicity,|Nach Atomizität ist> $\tp(\b'\c/A)$ \<is 
    isolated|isoliert>.
    \<So by|Dann sind nach> Lemma~{isolTrans} (<|for|> $\M_A$) $\tp(\b_\alpha 
    \b'\c/A)$ \<and hence|und also> $\tp(\b_\alpha\b'/A)$ \<are 
    isolated|isoliert>.
  %**(ii)
    %\<By|Nach> (i) <|and|> \<Theorem~{ttConst}, there is an atomic 
    %model|Satz~{ttConst} gibt es ein atomares Modell> $\N$ <|over|> $A$.
    %\<By primeness,|Aber $\M$ ist prim über $A$, also> \<there is|gibt es> $A 
    %(= \M' <~ \N$, \<such that|sodass> $\M$ \<is isomorphic to|isomorph zu> 
    %$\M'$ <|over|> $A$\<| ist>.
    %\<Then|Dann sind> $\M'$ \<and hence|und also> $\M$ \<are atomic 
    %over|atomar über> $A$\<| sind>.
  %*ee*
  .

Fact|Fakt*:
  \<The converse holds for countable|Die Umkehrung gilt für abzählbare> $\M$: 
  <|If|> $A (= \M |= T$ <|and|> $\M$ \<is countable|abzählbare ist>, \<then as 
  in Lemma~{primeAtomic} if $\M$ is atomic over $A$ then it is constructible 
  and hence prime over $A$.
  |impliziert wie in Lemma~{primeAtomic} Atomizität von $\M$ über $A$ 
  Konstruierbarkeit und also Primheit von $\M$ über $A$.>

  \<But for uncountable $\M$, atomicity over $A$ does not imply primeness over 
  $A$, even if $T$ is $\omega$-stable and
  |Aber impliziert nicht für überabzählbares $\M$ Atomizität über $A$ Primheit 
  über $A$, auch wenn $T$ $\omega$-stabil ist und>
  $|A| = |\M|$.
  .

# \<Strong minimality|Streng Minimalität>

<|Let|> $T$ \<be a complete $\L$-theory with infinite models|eine vollständige 
$\L$-Theorie mit unendlichen Modelle>.

## \<Algebraicity|Algebraizität>

Notation:
  \<Some abbreviations|Abkürzungen>:
  *\[a*
  \x .= \y &:= //\\_i x_i .= y_i \\\
  \exists^{>=n} \x\. \phi(\x) &:= \exists \x_1,...,\x_n\. (//\\_i \phi(\x_i) 
  /\ //\\_{i<j} \x_i ./= \x_j) \\\
  \exists^{<=n} \x\. \phi(\x) &:= \neg \exists^{>=n+1} \x\. \phi(\x) \\\
  \exists^{=n} \x\. \phi(\x) &:= ( \exists^{>=n} \x\. \phi(\x) /\ 
  \exists^{<=n} \x\. \phi(\x) ) .*a\]*
  .

Definition:
  <|Let|> $\M |= T$.
  ***) \<An|Eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$ \<is #algebraic# if|heißt 
  #algebraisch# wenn> $|\phi(\M)| < \aleph_0$.

  ** \<A tuple|Ein Tupel> $\b (- \M^{<\omega}$
  \<is|heißt> \defn{\<algebraic over|algebraisch über>} \<a subset|eine 
  Teilmenge> $A (= \M$\<, and| und> $\tp(\b/A)$ \<is an|heißt ein> 
  \defn{\<algebraic type|algebraisch Typ>}, <|if|> $\tp(\b/A)$ \<contains an 
  algebraic formula|eine algebraische Formel enthält>.

  ** \<The \defn{algebraic closure} of a subset|
  Die \defn{algebraisch Abschluss} von eine Teilmenge> $A (= \M$ in $\M$ 
  <|is|>
  $$\acl^\M(A) := \{ b (- \M : \tp(b/A)\text{ \<is algebraic|ist algebraisch>} 
  \}.$$
  *e)*
  .

Lemma{algProps}:
  ***(i) <|Let|> $\phi(\x,\y)$ \<be an|eine> $\L$-<|formula|>.
    <|Let|> $\M |= T$.
    <|For|> $\a (- \M^{|\y|}$\<,
    whether $\phi(\x,\a)$ is algebraic
    depends only on $\tp^\M(\a)$.
    | hängt es nur von $\tp^\M(\a)$ ab, ob $\phi(\x,\a)$ algebraisch ist.>

  **(ii) <|Let|> $A (= \M <~ \N |= T$.
    <|Then|> $\acl^\M(A) = \acl^\N(A)$.
    \<We usually write just|Wir schreiben gewöhnlich nur> $\acl(A)$.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i) $\phi(\x,\a)$ \<is algebraic iff for some|ist algebraisch genau dann, 
  wenn für ein> $n (- \omega$
  $$\M |= \exists^{=n} \x\. \phi(\x,\a) .$$

  **(ii)
  <|Let|> $\phi(x)$ \<be an algebraic|eine algebraische> $\L(A)$-<|formula|>.
  <|Let|> $n := |\phi(\N)|$.
  <|Then|> $\M |= \exists^{=n}x\. \phi(x)$,
  \<so|also> $\phi(\M) = \phi(\N)$.

  <|Then|> $\acl^{\N}(A) =
  \bigcup_{\phi \text{ alg.\ $\L(A)$-<|formula|>}} \phi(\N)
  = \bigcup_{\phi \text{ alg.\ $\L(A)$-<|formula|>}} \phi(\M)
  = \acl^{\M}(A)$.
  *ee*
  .

Examples|Beispiele:
  \<In a $k$-vector space,|In einem $k$-Vektorraum gilt> $\acl(A) = <{ A 
  }>_k$.

  \<In an algebraically closed field,|In einem algebraischen abgeschlossenen 
  Körper ist>
  $\acl$ \<is field theoretic algebraic closure|körperlicher algebraischer 
  Abschluss>:
  <|for|> $A (= K |= \ACF$\<, let|sei> $k = \Q(A) <= K$ \<be the subfield 
  generated by $A$; then|der durch $A$ erzeugter Unterkörper; Dann>
  $$\acl(A) = \{ b (- K : \exists f (- k[X]\. f(b) = 0 \}.$$
  .

Lemma{aclConst}:
  ***(i) \<Any algebraic type is isolated by an algebraic formula.
  |Jeder algebraischer Typ ist durch eine algebraische Formel isoliert.>
  **(ii)
    \<Let|Seien> $A (= \M |= T$.
    \<Then|Dann ist> $\acl(A)$ \<is constructible over $A$|über $A$ 
    konstruierbar>.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i) (<|Exercise|> 5.3)
    \<If|Sei> $\phi(x) (- \tp(b/A)$ \<is algebraic with|algebraisch mit> 
    $|\phi(\M)|$ minimal\<, then|. Dann ist> $\phi(x)$ \<is 
    isolated|isoliert>.
  **(ii)
    \<Enumerate|Zähle> $\acl(A)$ \<as|als> $(b_\alpha)_{\alpha (- \gamma}$\<| 
    auf>.
    \<Then|Dann ist> $\tp(\b_\alpha / A b_{<\alpha})$ \<is algebraic 
    since|algebraisch weil> $\tp(\b_\alpha / A)$ \<is, so is isolated by 
    (i)|ist, also isoliert nach (i)>.
  *ee*
  .

Lemma{aclTrans}:
  \<Let|Seien> $A (= \M |= T$.
  <|Then|> $\acl(\acl(A)) = \acl(A)$.
  .
Proof:
  <|Let|> $c (- \acl(\acl(A))$.
  <|Say|> $\M |= \phi(c,\b)$, <|where|> $\b (- \acl(A)^{<\omega}$ <|and|> 
  $\phi(x,\y)$ \<is an algebraic $\L$-formula|eine algebraische $\L$-Formel 
  ist>.
  \<Then|Dann ist> $\b$ \<is algebraic over $A$|über $A$ algebraisch> \<since 
  each|weil jede> $b_i$ <|is|>.
  \<So say|Sei somit> $\psi(\y) (- \tp(\b/A)$ \<is an algebraic|eine 
  algebraische> $\L(A)$-<|formula|>\< isolating|, die> $\tp(\b/A)$ 
  \<|isoliert>.

  \<Then|Dann ist> $\theta(x) := \exists \y\. ( \psi(\y) /\ \phi(x,\y) ) (- 
  \tp(c/A)$ \<is algebraic;
  indeed,|algebraisch; In der Tat:> $\theta(\M) = \bigcup_{\b' (- \psi(\M)} 
  \phi(\M,\b')$ \<is finite,
  since for each of the finitely many
  |ist endlich, weil: Für jedes von den endlich vielen> $\b' (- \psi(\M)$ \<we 
  have|gilt> $\b' == \b$ \<and hence|und also ist> $\phi(\M,\b')$ \<is 
  finite|endlich>.
  .


## \<Minimal and strongly minimal formulas|Minimale und streng minimale Formeln>

Definition:
  <|Let|> $\M |= T$.
  ***)
    \<An|Eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$ \<is|heißt> \defn{minimal in 
    $\M$}\< if|, wenn> $\phi(\x)$ \<is not algebraic but for every
    |nicht algebraisch ist aber für jede> $\L(\M)$-<|formula|> $\psi(\x)$\<,|>
    <|either|> $\phi(\x) /\ \psi(\x)$ <|or|> $\phi(\x) /\ \neg \psi(\x)$ \<is 
    algebraic|algebraisch ist>.

  **
    \<An|Eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$ \<is|heißt> 
    \defn{\<strongly|streng> minimal} \<if it is minimal in every|wenn es in 
    jedes> $\N >~ \M$\<| minimal ist>.
  *e)*
  .

Example|Beispiel:
  <|Let|> $\M := (\{ (i,j) : i < j < \omega \}; E)$,
  <|where|> $(i,j) E (i',j')$ <|iff|> $j=j'$.
  \<Then|Dann ist> $x.=x$ \<is|> minimal in $\M$.
  (\<To see this, note|Für dies beachte, dass> $\Th(\M)$ \<has QE once we add 
  for each|QE besitzt, wenn wir für jedes> $n (- \omega$ \<a predicate 
  for|eine Prädikat für> $\{ (i,j) : j > n \}$ \<|hinzufugen>.)

  <|But|> $x.=x$ \<isn't strongly minimal|ist nicht streng minimal>.
  \<Indeed, let|In der Tat: Sei> $b (- \N >~ \M$ \<realise the partial 
  type|eine Realisierung vom partiellen Typ>
  $\{ \exists^{>=n} y\. y E x : n (- \omega \}$;
  \<then neither|Dann ist weder> $xEb$ \<nor|noch> $\neg xEb$ \<is 
  algebraic|algebraisch>.
  .

Lemma{minVsSM}:
  <|Let|> $\phi(\x,\y)$ \<be an|eine> $\L$-<|formula|>.
  <|Let|> $\M |= T$.
  <|For|> $\a (- \M^{|\y|}$\<,| ist>
  $\phi(\x,\a)$ \<is strongly|streng> minimal
  \<iff it is non-algebraic and for every
  |genau dann, wenn es nicht algebraisch ist und für jede>
  $\L$-<|formula|> $\psi(\x,\y)$
  \<there is|es> $n_\psi (- \omega$
  \<such that|gibt, sodass>
  $$\M |= \forall \y\. \exists^{<= n_\psi} \x\. ( \phi(\x,\a) /\ \psi(\x,\y) ) 
  \/ \forall \y\. \exists^{<= n_\psi} \x\. ( \phi(\x,\a) /\ \neg \psi(\x,\y) 
  ).$$

  \<In particular, strong minimality of
  |Insbesondere hängt streng Minimalität von> $\phi(\x,\a)$ \<depends only 
  on|nur von> $\tp^\M(\a)$\<| ab>.
  .
Proof:
  ***)[$<==$] \<Immediate|Sofort>.
  **[$==>$] \<Suppose no such|Angenommen, \?es gibt kein solches> $n_\psi$\< 
  exists|>.
  \<Then|Dann ist>
  $$\pi(\y) := \{ \exists^{>= n} \x\. ( \phi(\x,\a) /\ \psi(\x,\y) ) /\
  \exists^{>= n} \x\. ( \phi(\x,\a) /\ \neg \psi(\x,\y) ) : n (- \omega \}$$
  \<is a partial type, so say|ein partieller Typ. Sei somit> $\b (- \N >~ \M$ 
  \<realises|eine Realisierung von> $\pi(\y)$.
  \<Then neither|Dann ist weder> $\phi(\x,\a) /\ \psi(\x,\b)$ \<nor|noch> 
  $\phi(\x,\a) /\ \neg\psi(\x,\b)$ \<is algebraic|algebraisch>,
  \<so|also> $\phi(\x,\a)$ \<is not minimal in|ist nicht in> $\N$\<| minimal>,
  \<contradicting strong minimality|was streng Minimalität widerspricht>.
  *e)*
  .

Definition:
  ***) $T$ \<is|heißt> \defn{\<strongly|streng> minimal}\< if|, wenn> $x.=x$ 
  \<is strongly minimal,|streng minimal ist;>
  \<i.e. any definable subset of any|D.h. jede definierbare Teilmenge von 
  jedes> $\M |= T$ \<is finite or cofinite|endweder endlich oder koendlich 
  ist>.
  ($X (= Y$ \<is /cofinite/ if|heißt /koendlich/, wenn> $Y \\ X$ \<is 
  finite|endlich ist>.)

  ** \<A structure|Eine Struktur> $\M$ \<is|heißt> \defn{\<strongly|streng> 
  minimal}\< if|, wenn> $\M$ \<is infinite and|unendlich ist und> $\Th(\M)$ 
  \<is strongly minimal|streng minimal ist>.
  *e)*
  .

Example|Beispiel*:
  $T_\infty$, $\Th((\Z;S))$, $T_{k-\VS}$ \<and the completions of|und die 
  Vervollständigungen von> $\ACF$ \<are all strongly minimal|sind alle streng 
  minimal>.
  .

\subsection{\<Existence of (strongly) minimal formulas in $\omega$-stable 
theories|Existenz von (streng) minimale Formeln in $\omega$-stabil Theorien>}

Lemma{wstabMin}:
  \<Suppose $T$ is totally transcendental.
  |Angenommen, $T$ ist total transzendent.>
  <|Let|> $\M |= T$.
  <|Let|> $|\x| > 0$.
  \<Then there exists an|Dann gibt es eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$\< 
  which is minimal in|, die in> $\M$\<| minimal ist>.
  .
Proof:
  \<Suppose not. Then if|Sonst: wenn> $\phi_s(\x)$ \<is a non-algebraic|eine 
  nicht-algebraisch> $\L(\M)$-<|formula|>\<| ist>,
  \<there is|gibt es eine $\L(\M)$-Formel> $\psi(\x)$\< such that|, sodass> 
  $\phi_{s0} := \phi_s(\x) /\ \psi(\x)$ <|and|> $\phi_{s1} := \phi_s(\x) /\ 
  \neg\psi(\x)$ \<are non-algebraic|nicht-algebraische> 
  $\L(\M)$-<|formulas|>\<| sind>.
  \<We obtain a binary tree|Wir konstruieren somit einen binären Baum> 
  $(\phi_s)_{s (- 2^{<\omega}}$, \<contradicting total transcendence|was total 
  Transzendenz widerspricht>.
  .

Lemma:
  <|Let|> $\M |= T$ \<be|> $\aleph_0$-<|saturated|>.
  <|Let|> $\phi(\x)$ \<be an|eine> $\L(\M)$-<|formula|>\< which is minimal in 
  $\M$|, die minimal in $\M$ ist>.
  \<Then|Dann ist> $\phi(\x)$ \<is strongly minimal|streng minimal>.
  .
Proof:
  \<Otherwise, the type in the proof of Lemma~{minVsSM} is realised in $\M$ by 
  $\aleph_0$-saturation, contradicting minimality.
  |Sonst ist der Typ im Beweis von Lemma~{minVsSM} durch 
  $\aleph_0$-saturierheit in $\M$ realisiert, was Minimalität widerspricht.>
  .

\newcommand{\exinf}{\exists^{\infty}}

Definition:
  $T$ \defn{\<eliminates|eliminiert> $\exinf$}\< if for every|, wenn für jede> 
  $\L$-<|formula|> $\phi(\x,\y)$
  \<there is|es> $n_\phi (- \omega$ \<such that for all|gibt, sodass für alle> 
  $\M |= T$ <|and|> $\b (- \M^{|\y|}$\< we have| gilt>
  $$|\phi(\M,\b)| < \aleph_0 ==> |\phi(\M,\b)| <= n_\phi.$$

  (\<So|Dann ist> ``$\exinf \x\. \phi(\x,\y)$'' \<is expressed by|durch>
  $\exists^{>n_\phi} \x\. \phi(\x,\y)$\<| ausgedrückt>.)
  .

Lemma{wstabExInfSM}:
  <|If|> $T$ \<eliminates|> $\exinf$ \<then any minimal|eliminiert, ist jede 
  minimale Formel> $\phi$ \<is strongly minimal|streng minimal>.
  .
Proof:
  Lemma~{minVsSM}.
  .

Corollary|Korollar{wstabSM}:
  <|Let|> $|\x| > 0$.
  \<If|Angenommen,> $T$ \<is totally transcendental,|ist total transzendent.>
  \<then for every|Für jedes> $\aleph_0$-<|saturated|> $\M |= T$
  \<there is a strongly minimal|gibt es eine streng minimale> 
  $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$.

  \<If furthermore|Angenommen auch,> $T$ \<eliminates|eliminiert> 
  $\exinf$\<,|.>
  \<then for every|Für jedes> $\M |= T$
  \<there is a strongly minimal|gibt es eine streng minimale> 
  $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$.
  .

## \<Strong minimality and stability|Streng Minimalität und Stabilität>
<|Let|> $\phi(\x)$ \<be a strongly minimal|eine streng minimale> 
$\L$-<|formula|>.
\<By|Nach> Lemma~{minVsSM}\<, this precisely means that| bedeutet dies genau, 
dass>
$\phi(\x)$ \<is minimal in every|minimal in jedes> $\M |= T$\<| ist>.

%Definition:
%  For $A (= \M |= T$, let
%  $S_\phi(A) := \{ p(\x) (- S(A) : \phi(\x) (- p(\x) \}$
%  (\<the set of types ``concentrating on''
%  |die Menge der Typen, die ``konzentrieren auf''> $\phi$).
%  .

\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}
Lemma{uniqueNF}:
  <|Let|> $A (= \M |= T$.
  **(i) \<There is a unique non-algebraic type|Es gibt einen eindeutig 
  bestimmten nicht-algebraischen Typ> $\pp_A(\x) (- S(A)$ <|with|> $\phi(\x) 
  (- \pp_A(\x)$. \<This type|Dieser Typ> $\pp_A(\x)$ \<is the #generic# type 
  of|ist der #generischer# Typ von> $\phi$ <|over|> $A$.
  **(ii) \<For any|Für jedes> $n (- \omega$\<, there is a unique type| gibt es 
  einen eindeutig bestimmten Typ>
  $\pp_A^{(n)}(\x_1,...,\x_n)$ \<of a sequence|von eine Folge> $\a_1,...,\a_n 
  (- \phi(\M)$ <|with|> $\a_i (/- \acl(A \cup \a_{<i})^{<\omega}$ <|for|> $1 
  <= i <= n$.
  \<Such a sequence is also called #generic# over|Eine solche Folge ist auch 
  genannt #generisch# über> $A$.
  *ee*
  .
Proof:
  **(i)
  \<A non-algebraic type exists, since|Eine nicht-algebraischer Typ existiert, 
  weil>
  $$\{ \phi(\x) /\ \neg \psi(\x) : \psi(\x)\text{ \<an algebraic|eine 
  algebraische> $\L(A)$-<|formula|>}\}$$
  \<is finitely consistent, since|endlich konsistent ist, weil> $\phi$ \<is 
  not algebraic|nicht algebraisch ist>.

  \<If two distinct such types exist, some|Wenn zwei verschiedene solche Typen 
  existieren, trennt sie eine>
  $\L(A)$-<|formula|> $\psi$ \<separates them, and then neither|, also weder> 
  $\phi /\ \psi$ <|nor|> $\phi /\ \neg\psi$ \<is algebraic, contradicting 
  minimality of|algebraisch ist, was Minimalität von> $\phi$ in $\M$\<| 
  widerspricht>.

  **(ii)
  \<Suppose inductively this holds for|Nehmen wir als Induktionsvoraussetzung 
  an, dass dies gilt für>
  $n (- \omega$\<, and consider two such sequences
  |. Betrachte zwei solche Folgen> $\a_1,...,\a_{n+1}$ <|and|> 
  $\b_1,...,\b_{n+1}$.
  <|Then|> $$(\a_1,...,\a_n) == (\b_1,...,\b_n),$$
  \<so there is|also gibt es> $\c (- \phi(\N)$ \<for some|für eines> $\N >~ 
  \M$\< such that|, sodass>
  $$(\a_1,...,\a_n,\a_{n+1}) ==_A (\b_1,...,\b_n,\c)$$
  (\<namely, a realisation of|Nämlich eine Realisierung von> 
  $\tp(\a_{n+1}/\a_{<n+1})^{\id_A \cup \bigcup_i \a_i |-> \b_i}$).

  <|Then|> $\c,\b_{n+1} |= \pp_{A\cup \b_{<n+1}}$,
  \<so|also>
  $$(\a_1,...,\a_{n+1}) ==_A (\b_1,...,\b_n,\c) ==_A (\b_1,...,\b_{n+1}).$$
  *ee*
  .

Lemma{smWStab}:
  \<Countable strongly minimal theories are|Abzählbare streng minimale 
  Theorien sind> $\omega$-<|stable|>.
  .
Proof:
  <|Let|> $A (= \M |= T$ <|with|> $|A| <= \aleph_0$.
  \<By|Nach> Lemma~{uniqueNF} \<for the strongly minimal formula|für die 
  streng minimale Formel> $x.=x$\<,|:>
  <|if|> $\N >~ \M$ <|and|> $b (- \N \\ \acl(A)$\< then|, gilt> $b |= 
  \pp_A(x)$.
  <|So|> $|S_1(A)| <= |\acl(A)| + 1 <= |T| + |A| = \aleph_0$.
  .

Remark|Bemerkung:
  \<In fact, any strongly minimal theory is totally transcendental.
  |Tatsächlich ist jede streng minimale Theorie total transzendent.>
  .

Lemma{aclExchange}:
  <|Let|> $A (= \M |= T$.
  <|If|> $(\a,\b) |= \pp_A^{(2)}$\< then|, gilt>
  $(\b,\a) |= \pp_A^{(2)}$.
  .
Proof:
  \<It suffices to show that for /some/
  |Es genügt zu zeigen, dass für /eines/ Paar> $(\a,\b) |= \pp_A^{(2)}$
  \<we have|> $(\b,\a) |= \pp_A^{(2)}$\<| gilt>.

  \<Let|Seien> $\a_i |= \pp_A$ <|for|> $i (- \omega$ \<be distinct 
  realisations|verschiedene Realisierungen>\<,
  and let|und sei> $\b |= \pp_{A \cup \bigcup_i \a_i}$,
  \<all realised in some|alle in eines> $\N >~ \M$\<| realisiert>.

  <|Then|> $(\a_i,\b) |= \pp_A^{(2)}$ \<for all|für alle> $i (- \omega$,
  \<so|also> $\a_i ==_{A\cup\{\b\}} \a_j$ \<for all|für alle> $i,j (- \omega$.
  \<It follows that|Es folgt, dass> $\a_0 (/- \acl(A \cup \{\b\})^{<\omega}$,
  \<so|also> $(\b,\a_0) |= \pp_A^{(2)}$.
  .

## \<Pregeometries|Prägeometrien>

% Just show prime and minimal over maximal independent set.
% (technically we won't reuse this statement, only the idea)

Definition:
  \<A pair|Eines Paar> $(S,\cl)$, <|where|> $S$\< is a set and|eine Menge ist 
  und> $\cl : \pow(S) --> \pow(S)$,
  \<is a #pregeometry#
  if for|ist eine #Prägeometrie#, wenn für> $A,B (= S$ <|and|> $b,c (- S$:
  ***(PG1) $A (= B ==> A (= \cl(A) (= \cl(B)$
  **(PG2) $\cl(\cl(A)) = \cl(A)$
  **(PG3) $\cl(A) = \bigcup_{A_0 (=f A} \cl(A_0)$
  **(PG4) ``\<Exchange|Austausch>'':
  <|If|> $b (- \cl(A \cup \{c\}) \\ \cl(A)$\< then|, gilt>
  $c (- \cl(A \cup \{b\})$.
  *ee*
  .

Remark|Bemerkung*:
  \<A finite pregeometry is also known as a /matroid/.
  |Eine endliche Prägeometrie ist auch genannt ein /Matroid/.>
  .

<|Let|> $\phi(\x)$ \<be a strongly minimal|eine streng minimale> 
$\L$-<|formula|>.

Lemma:
  <|Let|> $\M |= T$.
  \<Define|Definiere> $\acl^\M|_{\phi(\M)} : \pow(\phi(\M)) --> 
  \pow(\phi(\M))$ \<by|durch>
  $\acl^\M|_{\phi(\M)}(A) := \acl^\M(A) \cap \phi(\M)$.
  \<Then|Dann ist> $(\phi(\M),\acl^\M|_{\phi(\M)})$ \<is a pregeometry|eine 
  Prägeometrie>.

  \<When no ambiguity can result, we write just|Wenn es kann keine Ambiguität 
  verursachen, schreiben wir nur> $\acl$ <|or|> $\acl^\M$ <|for|> 
  $\acl^\M|_{\phi(\M)}$.
  .
Proof:--
  ***(PG1) Clear.
  **(PG2) Lemma~{aclTrans}.
  **(PG3) An algebraic formula uses only finitely many parameters.
  **(PG4) Lemma~{aclExchange}.
  *ee*
  .

Definition:
  <|Let|> $(S,\cl)$ \<be a pregeometry|eine Prägeometrie>.
  \<A subset|Eine Teilmenge> $A (= S$ <|is|> 
  $\cl$-\defn{\<independent|unabhängig>}\< if|, wenn> $a (/- \cl(A \\ \{a\})$ 
  \<for all|für alle> $a (- A$.
  \<A|Eine> $\cl$-\defn{\<basis|Basis>} <|for|> $S$ \<is a maximal|ist eine 
  maximale>
  $\cl$-<|independent|> \<subset|Teilmenge>.
  .

Lemma{basisProps}:
  <|Let|> $(S,\cl)$ \<be a pregeometry|eine Prägeometrie>.
  ***(i) $S$ \<has a basis|besitzt eine Basis>.
  **(ii) <|If|> $B (= S$ \<is a basis, then|eine Basis ist, gilt> $\cl(B) = 
  S$.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i) \<By|Nach> (PG3)\<, the union of a chain of independent sets is 
  independent. We conclude by Zorn.
  | ist die Vereinigung eine Kette von unabhängige Teilmenge unabhängig.
  Die Behauptung folgt aus Das Zornschen Lemma>.

  **(ii) \<Suppose|Sei> $c (- S \\ \cl(B)$. \<For any|Für jede> $b (- B$\<, we 
  have| gilt>
  $b (/- \cl(B \\ \{b\})$\<, so by (PG4),|
  Dann gilt nach (PG4)> $b (/- \cl(B \\ \{b\}) \cup \{c\}$.
  \<But then|Aber dann ist> $B \cup \{c\}$ \<is independent|unabhängig>, 
  \<contradicting maximality|was Maximalität widerspricht>.
  *ee*
  .

Proposition{pregeomDim}:
  <|Let|> $(S,\cl)$ \<be a pregeometry|eine Prägeometrie>.
  \<Then all bases have the same cardinality.
  |Dann besitzen alle Basen die gleich Mächtigkeit.>
  \<This cardinality is the #dimension#
  |Diese Mächtigkeit ist die \defn{Dimension}>
  $\dim((S,\cl))$ \<of the pregeometry|der Prägeometrie>.
  .
Proof:
  % Not so neat proof, leaves details at the end to the reader:
%  Suppose $A$ and $B$ are bases.
%
%  First, suppose $A$ is finite. Enumerate $A$ as $(a_1,...,a_n)$.
%  We inductively find $b_1,...,b_n (- B$
%  such that
%  Equation:
%    \tag{*_k}
%    (B \\ b_{<k}) \cup a_{<k}\text{ is a basis}
%    .
%  for all $1 <= k <= n$.
%  Given $1 <= k <= n$ and $b_1,...,b_{k-1}$,
%  let $B' (= B \\ b_{<k}$ be a minimal subset such that $a_k (- \cl(B' \cup 
%  a_{<k})$.
%  Then $B' /= {}$ since $A$ is independent.
%  Let $b_k (- B'$.
%  Then by exchange, $b_k (- \cl(((B' \cup a_{<k}) \\ \{b_k\}) \cup \{a_k\} (= 
%  \cl((B \\ b_{<k+1}) \cup a_{<k+1})$.
%  So $\cl((B \\ b_{<k+1}) \cup a_{<k+1}) = S$,
%  and $(B \\ b_{<k+1}) \cup a_{<k+1}$ is independent,
%  since if $a_k (- \cl((B \\ b_{<k+1}) \cup a_{<k}$
%  then $b_k (- \cl((B \\ b_{<k+1}) \cup a_{<k}$, contradicting $(*_k)$.

  % Neat proof, adapted from Martin Hils' Logik II lecture notes
  <|Let|> $X,Y (= S$ <|with|> $\cl(X) = S$ <|and|> $Y$ <|independent|>.
  \<We show|Wir zeigen, dass> $|Y| <= |X|$.

  \<First we prove this for $X$ finite.
  |Zuerst beweisen wir dies, wenn $X$ endlich ist.>
  \<Suppose|Sei> $n = |X| >= 0$\<, and assume the result for
  |. Angenommen, die Behauptung gilt für> $|X| = n-1$.
  \<Enumerate|Aufzähle> $X$ \<as|als> $\{x_1,...,x_n\}$.
  <|If|> $Y = {}$, \<we are done|sind wir fertig>.
  \<Else, let|Sonst sei> $y (- Y$.
  \<Then|Dann gilt durch Unabhängigkeit> $y (/- \cl({})$\< by independence, 
  and|. Außerdem> $y (- \cl(X)$.
  \<So there is|Somit sei> $i >= 1$\< be such that|, sodass>
  $y (- \cl(x_{<=i}) \\ cl(x_{<i})$.
  \<Then by (PG4),|Dann gilt nach (PG4)> $x_i (- \cl(\{x_1,...,x_{i-1},y\})$.

  \<Now consider the pregeometry|Betrachte nun die Prägeometrie> $(S,\cl_y)$, 
  <|where|> $\cl_y(A) := \cl(A\cup\{y\})$.
  <|Then|> $\cl_y(\{x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n\}) = S$,
  <|and|> $Y \\ \{y\}$ <|is|> $\cl_y$-<|independent|>,
  \<so by the inductive hypothesis,
  |also durch die Induktionsvoraussetzung gilt>
  $$|Y| - 1 = |Y \\ \{y\}| <= |X \\ \{x_i\}| = |X| - 1,$$
  \<so|also> $|Y| <= |X|$, \<as required|wie gewünscht>.

  \<Now suppose|Sei nun> $|X| >= \aleph_0$.
  <|For|> $X_0 (=f X$\<,|>
  \<by the finite case above (applied to
  |nach dem endlichen Fall vorher (auf>
  $(\cl(X_0), \cl|_{\cl(X_0)})$\<| angewendet>)\<,| gilt>
  $| Y \cap \cl(X_0) | <= |X_0| < \aleph_0$.
  \<Now by (PG3),|Nun gilt nach (PG3)>
  $Y = \bigcup_{X_0 (=f X} (Y \cap \cl(X_0))$\<, so since|. Weil> $|\{X_0 : 
  X_0 (=f X\}| = |X|$,
  \<we have|gilt> $|Y| <= |X|$.
  .
  
Definition:
  <|For|> $\M |= T$, \<define|setze>
  $\dim^\phi(\M) := \dim((\phi(\M),\acl))$.

  <|If|> $T$ \<is strongly minimal,|streng minimal ist, setze>
  $\dim(\M) := \dim^{x.=x}(\M)$.
  .

Remark|Bemerkung:
  \<The $\acl$-dimension of an algebraically closed field is also known as its 
  ``transcendence degree''.
  |Die $\acl$-Dimension eines algebraischen abgeschlossenen Körpers ist auch 
  genannt als seinen ``Transzendenzgrad''.>
  .

%Lemma{indieNF}:
%  $A (= \phi(\M)$ is $\acl$-independent iff
%  for any enumeration $(a_\alpha)_{\alpha < \gamma}$ of $A$,
%  $$\forall \alpha < \gamma\. a_\alpha |= \pp_{a_{<\alpha}}.$$
%  .
%Proof:
%  $==>$: immediate
%  $<==$: Firstly, by iteratively realising types, we can find such a sequence 
%  $(a_\alpha)_{\alpha < \omega+\omega$.
%  Then $(a_\alpha)_{\omega <= \alpha < \omega+\omega}$ is independent;
%  indeed, by indiscernability, get contradiction TODO...
%
%  Now 
%  .

Lemma{smIndieGen}:
  ***(i)
  \<The independent sets of size|Die unabhängige Teilmengen der Mächtigkeit> 
  $n$ in $(\phi(\M),\acl)$ \<are precisely the realisations of|sind genau die 
  Realisierungen von>
  $\pp_{}^{(n)}$.

  **(ii)
  \<More generally,|Allgemeiner ist> $A (= \phi(\M)$ \<is independent iff for 
  every|unabhängig genau dann, wenn für jedes> $n (- \omega$ \<every tuple 
  of|jedes Tupel von> $n$ \<distinct elements of|verschiedene Elementen von> 
  $A$ \<realises|den Typ> $\pp_{}^{(n)}$\<| realisiert>.

  \<In particular, if|Insbesondere, wenn> $\M_1,\M_2 |= T$ <|and|> $A_i (= 
  \phi(\M_i)$ \<are independent sets with|unabhängige Teilmengen mit> $|A_1| = 
  |A_2|$\<, then any bijection| sind, ist jede Bijektion> $\theta : A_1 --> 
  A_2$ \<is partial elementary|partiel elementar>.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i)
  <|Let|> $\M |= T$ \<be|> $\aleph_0$-<|saturated|> <|and|> \<take an|sei $B$ 
  eine>
  $\acl$-\<basis $B$|Basis> <|for|> $\phi(\M)$.
  \<Then|Dann ist> $B$ \<is infinite|unendlich>.
  \<Take a subset|Sei> $\{\b_1,...,\b_n\} (= B$ \<of size|eine Teilmenge der 
  Mächtigkeit> $n$.
  <|Then|> $(\b_1,...,\b_n) |= \pp_{}^{(n)}$ <|and|> $\{\b_1,...,\b_n\}$ \<is 
  independent|unabhängig ist>,
  \<so this holds of any realisation of|also dies gilt auch für jede 
  Realisierung von> $\pp_{}^{(n)}$.

  **(ii) \<This follows from|Folgt aus> (i).
  *ee*
  .

% Exercise: some projection to one variable of an sm is sm.

## \<Minimal subsets|Minimale Teilmengen>

\<The following notion of minimality of a subset is entirely separate from the 
notion of a formula being minimal.
|Der folgender Begriff \?von Minimalität einer Teilmenge ist deutlich getrennt 
vom Begriff von Minimalität einer Formel.>

Definition:
  \<Let|Seien> $A (= B (= \M |= T$.
  \<Then|Dann heißt> $B$ \<is \defn{minimal over $A$}
  |\defn{minimal über $A$}> (in $\M$)\< if for any|, wenn für jedes> $\N <~ 
  \M$ <|with|> $A (= \N$\<, also| auch> $B (= \N$\<| gilt>.
  .

Lemma{aclConstMin}:
  <|Let|> $A (= B (= \acl^\M(A) (= \M |= T$.
  \<Then|Dann ist> $B$ \<is constructible and minimal over
  |konstruierbar und minimal über> $A$ in $\M$.
  .
Proof:
  \<Constructibility follows as|Konstruierbarkeit folgt wie> in 
  Lemma~{aclConst}.
  \<For minimality: If|Ad Minimalität: Wenn> $A (= \N <~ \M$, \<then|gilt> $B 
  (= \acl^\M(A) = \acl^\N(A) (= \N$
  (\<by|nach> Lemma~{algProps}(ii)).
  .

Lemma{constMinIsom}:
  \<Let|Seien> $A (= \M |= T$
  <|and|> $A' (= \M' |= T$.
  \<Suppose|Sei> $\M$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A$ <|and|> 
  $\M'$ \<is minimal over|minimal über> $A'$.
  \<Suppose|Sei> $\theta : A -==-> A'$ \<is a p.e. bijection|eine p.e. 
  Bijektion>.
  \<Then|Dann lässt> $\theta$ \<extends to an isomorphism|sich zu einem 
  Isomorphismus> $\M -~=-> \M'$\<| erweitern>.
  .
Proof:
  \<By|Nach> Lemma~{constPrime}\<,| ist> $\M$ \<is prime over|prim über> $A$, 
  \<so|also> $\theta$ \<extends to an elementary embedding|lässt sich zu einer 
  elementaren Einbettung>
  $\theta' : \M (-~<-> \M'$\<| erweitern>.
  \<Then|Dann gilt> $A' (= \im(\theta') (= \M'$, \<so by minimality|also nach 
  Minimalität> $\im(\theta') = \M'$.
  .

\subsection{\<Classifying the models of a strongly minimal theory
|Klassifikation der Modelle einer streng minimale Theorie>}

\<Suppose|Angenommen,> $T$ \<is strongly minimal|ist streng minimal>.

Theorem|Satz{smCat}:
  \<Let|Seien> $\M_1,\M_2 |= T$.
  <|Then|>
  $$\M_1 ~= \M_2 \;<==>\; \dim(\M_1) = \dim(\M_2).$$

  \<In particular,|Insbesondere ist> $T$ \<is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for 
  all|für alle> $\kappa > |T|$.
  .
Proof:
  \<Suppose|Angenommen, dass> $\dim(\M_1) = \dim(\M_2)$.
  <|Let|> $B_i$ \<be an|eine> $\acl$-\<basis of|Basis von> $\M_i$.
  \<By|Nach> Lemma~{smIndieGen}(ii)\<,
  any bijection| ist jede Bijektion> $\theta : B_1 --> B_2$ \<is partial 
  elementary|partiel elementar>.
  \<By|Nach> Lemma~{basisProps}(ii) $\acl^{\M_i}(B_i) = \M_i$.
  \<By|Nach> Lemma~{aclConstMin} <|and|> Lemma~{constMinIsom}\<,| lässt sich>
  $\theta$ \<extends to an isomorphism|zu einem Isomorphismus>
  $\M_1 -~=-> \M_2$\<| erweitert>.

  \<The converse implication is clear.
  |Die Umkehrung ist klar.>

  \<For the ``in particular'' clause: it suffices to observe that
  |Ad ``Insbesondere'': Es genügt zu beobachten, dass>
  $\dim(\M) <= |\M| <= |T| + \dim(\M)$
  (\<for all|für alle> $\M |= T$).
  .

Lemma:
  ***(i) \<Let|Seien> $A (= \M |= T$. \<Suppose|Angenommen,> $A = \acl^\M(A)$ 
  <|and|> $|A| >= \aleph_0$.
  \<Then|Dann ist> $A$ \<is the domain of an elementary substructure of|die 
  Grundmenge einer elementaren Unterstruktur von> $\M$.

  **(ii) \<For some cardinal|Für eine Kardinalzahl> $0 <= \lambda <= 
  \aleph_0$,
  $$\{ \dim(\M) : \M |= T \} = [\lambda,\infty) = \{ \kappa (- 
  \<\"Card|\"Kard> : \lambda <= \kappa \}.$$

  \<In particular, a countable strongly minimal theory is 
  $\aleph_0$-categorical iff it has no finite-dimensional models.
  |Insbesondere ist eine abzählbare streng minimale Theorie 
  $\aleph_0$-kategorisch genau dann, wenn es kein endlich-dimensionales Modell 
  besitzt.>
  *ee*
  .
Proof:
  <|Exercise|>; (i) \<is an easy application of the Tarski Test, and (ii) 
  follows.
  |ist eine einfache Verwendung vom Tarski-Test, und (ii) folgt aus (i).>
  .

Example|Beispiel:
  ***) $T_{\F_q-\VS}$ <|is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for all infinite|für 
  alle unendliche> $\kappa$.
  ** <|For|> $k$ \<an infinite field,|einen unendlichen Körper besitzt> 
  $T_{k-\VS}$ \<has models in dimensions|Modelle in Dimensionen> $[1,\infty)$.
  ** $\ACF_p$ ($p=0$ <|or|> $p$ \<prime|prim>) \<has models in 
  dimensions|besitzt Modelle in Dimensionen> $[0,\infty)$.
  *e)*
  .

## \<Building uncountably categorical theories|Bauen von überabzählbar kategorische Theorien>

Definition:
  \<A countable theory is \defn{uncountably categorical} if it is
  |Eine abzählbare Theorie heißt \defn{überabzählbar kategorisch}, wenn sie>
  $\kappa$-<|categorical|> \<for some|fur ein> $\kappa > \aleph_0$\<| ist>.
  .

\<By Theorem~{smCat}, countable strongly minimal theories are uncountably 
categorical.
|Nach Satz~{smCat} sind abzählbare streng minimale Theorien überabzählbar 
kategorisch.>

\<We now begin to address the following questions:
|Wir beginnen nun die folgende Fragen zu betrachten:>
***) In {\em \<which|welche>} \<uncountable cardinals are uncountably 
categorical theories categorical? e.g. can a countable $T$ be $\aleph_2$ 
categorical but not $\aleph_1$-categorical, or vice-versa?
|überabzählbare Kardinalzahlen sind überabzählbar kategorische Theorien 
kategorisch? Z.B.: kann eine abzählbare Theorie $\aleph_2$-kategorisch aber 
nicht $\aleph_1$-kategorisch sein, oder umgekehrt?>
** \<Which theories are uncountably categorical? Do they have to be strongly 
minimal, or somehow associated to a strongly minimal theory?
|Welche Theorien sind überabzählbar kategorisch? Müssen sie streng minimal 
sein, oder irgendwie zu einer streng minimalen Theorie verbindet?>
*e)*

Example|Beispiel:
!newop Cart
  <|Let|> $X$ \<be an infinite set|eine unendliche Menge>.
  <|Let|> $\Cart^n(X) := (X^n \dotcup X; P, \pi_1,...,\pi_n)$,
  <|where|> $P(\Cart^n(X)) := X$ <|and|>
  $\pi_i : (x_1,...,x_n) |-> x_i$
  (<|and|> $\pi_i|_X := \id|_X$).

  <|Let|> $T := \Th(\Cart^n(X))$.
  \<It is not hard to see that the models of $T$ are precisely
  |Es ist nicht schwierig zu sehen, dass die Modelle von $T$ sind genau>
  $\{ \Cart^n(Y) : |Y| >= \aleph_0 \}$,
  \<so|also> $T$ <|is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for all|für alle> $\kappa 
  >= \aleph_0$.

  \<Now|Nun ist> $T$ \<is not strongly minimal|nicht streng minimal>,
  \<but|aber> $P(x)$ \<is strongly minimal|ist streng minimal>.
  <|Let|> $\N |= T$. <|Then|> $\N (= \acl(P(\N))$,
  \<so by|also nach> Lemma~{aclConstMin}\<,| ist>
  $\N$ \<is constructible and minimal over|konstruierbar und minimal über> 
  $P(\N)$,
  \<and the categoricity follows|aus was die Kategorizität folgt>
  (\<since any bijection|weil jede Bijektion> $P(\M_1) --> P(\M_2)$ \<is 
  elementary|elementar ist>).

  %More generally, this shows that if $T$ is a complete $\L$-theory and
  %$\phi(x)$ is a strongly minimal $\L$-formula and for all $\M |= T$ we have 
  %$\M |= \acl(\phi(\M))$, then $T$ is $\kappa$-categorical for all $\kappa > 
  %\aleph_0$.
  .

Example|Beispiel:
  <|Let|> $n (- \omega$.
  <|Let|> $V$ \<be an $n$-dimensional $\C$-vector space.
  |einer $n$-dimensionaler $\C$-Vektorraum.>
  <|Let|> $\VS^n(\C) := (V \dotcup \C; P, +, \cdot, *)$,
  <|where|> $P(\VS^n(\C)) := \C$\<,| und>
  $+,\cdot$ \<are the ring operations on|die Ringoperationen auf> $\C$\<, and| 
  sind und> $*$ \<is scalar multiplication|Skalarmultiplication> $\C \times V 
  --> V$ \<| ist>
  (\<making these into total functions on|mit diese Operationen zu totale 
  Funktionen auf> $V \dotcup \C$ \<by setting the value to $0 (- \C$ when it 
  would otherwise be undefined).
  |gemacht, durch Setzen von den Wert zu $0 (- \C$, wenn es sonst undefiniert 
  \?wäre).>

  <|Let|> $T := \Th(\VS^n(\C))$.
  \<It is not hard to see that the models of $T$ are precisely
  |Es ist nicht schwierig zu sehen, dass die Modelle von $T$ sind genau>
  $\{ \VS^n(K) : K |= \ACF_0 \}$,
  \<and so|also> $T$ <|is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for all|für alle> 
  $\kappa > \aleph_0$.

  \<Now|Nun ist> $P(x)$ \<is strongly minimal, but|streng minimal, aber> 
  $\VS^n(K) (/= \acl(K)$.
  \<However, if we pick a $K$-basis|Wenn wir jedoch ein $K$-basis> $B = 
  \{b_1,...,b_n\}$ \<for the vector space, then
  |für den Vektorraum wahlen, gilt> $\VS^n(K) (= \acl(B \cup K)$.
  \<This suffices to explain categoricity, by the following Proposition.
  |Dies genügt für Kategorizität, nach dem folgenden Proposition.>
  .

Proposition{constMinSMCat}:
  <|Let|> $T$ \<be a complete countable theory|eine vollständige abzählbare 
  Theorie>.

  <|Let|> $\M_0 |= T$ \<be prime|prim>.
  <|Let|> $\phi(x)$ \<be a strongly minimal|eine streng minimale> 
  $\L(\M_0)$-<|formula|>.
  \<Suppose that any|Angenommen, jede elementare Erweiterung> $\M >~ \M_0$ 
  \<is constructible and minimal over|ist konstruierbar und minimal über> 
  $\M_0 \cup \phi(\M)$.

  \<Then|Dann ist> $T$ \<is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for all|für alle> 
  $\kappa > \aleph_0$,
  <|and|> $T$ \<has|besitzt> $<= \aleph_0$ \<countable models up to 
  isomorphism|abzählbare Modelle bis auf Isomorphie>.
  .
%Remark:
%  \<We will eventually prove a converse to this: if $T$ is 
%  $\kappa$-categorical for some
%  |Wir werden irgendwann eine Umkehrung zu diese Proposition beweisen:
%  Wenn $T$ $\kappa$-kategorisch für ein>
%  $\kappa > \aleph_0$\<, then $T$ satisfies the hypotheses of this 
%  Proposition.
%  | ist, erfüllt $T$ die Voraussetzung dieser Proposition.>
%  .
Proof:
  Claim|Behauptung*:
    \<Suppose|Sei> $\M_0 <~ \M |= T$.
    <|Let|> $B$ \<be an|eine> $\acl^{\M_{\M_0}}$-<|basis|> <|for|> $\phi(\M)$.
    \<Then|Dann ist> $\M_{\M_0}$ \<is constructible and minimal 
    over|konstruierbar und minimal über> $B$.
    .
  Proof:
    \<We have|Wir haben> $B (= \phi(\M) (= \M_{\M_0}$.
    \<By|Nach> Lemma~{aclConstMin}\<,| ist> $\phi(\M)$ \<is constructible and 
    minimal over|konstruierbar und minimal über> $B$ in $\M_{\M_0}$.
    \<Since|Weil> $\M$ \<is constructible and minimal over|konstruierbar und 
    minimal über> $\M_0 \cup \phi(\M)$\<, also| ist, ist> $\M_{\M_0}$ \<is 
    constructible and minimal over|auch konstruierbar und minimal über> 
    $\phi(\M)$.
    \<Now the claim follows from Lemma~{constTrans} and its (easily verified) 
    analogue for minimality.
    |Die Behauptung folgt nun aus Lemma~{constTrans} und sein (einfach 
    verifiziert) Analagon für Minimalität.>
    .

  <|Let|> $\M_1, \M_2 |= T$ <|with|> $|\M_i| = \kappa > \aleph_0$; \<we 
  show|wir zeigen, dass> $\M_1 ~= \M_2$.
  \<WLOG|OE> $\M_0 <~ \M_i$.

  $\M_i$ \<is constructible and hence prime over|ist konstruierbar also prim 
  über> $\phi(\M_i) \cup \M_0$, \<hence|also> nach Löwenheim-Skolem,
  \<|einbettet> $\M_i$ \<embeds in a model of cardinality|in einem Modell der 
  Mächtigkeit>
  $\aleph_0 + |\phi(\M_i)|$,
  \<and it follows that|also> $|\phi(\M_i)| = \kappa$.

  \<Now by the Claim and|Nach die Behauptung und> Lemma~{constMinIsom}\<,
  a bijection of bases extends to an isomorphism
  | lässt eine Bijektion von Basen zu eine Isomorphismus>
  $(\M_1)_{\M_0} ~= (\M_2)_{\M_0}$\<; in particular|, Insbesondere> $\M_1 ~= 
  \M_2$\<|, erweitern>.

  \<For the case
  |Ad> $\kappa=\aleph_0$:
  \<by the same argument countable models $\M_i$ are isomorphic if
  |die gleich Argumentation zeigt, dass abzählbare Modelle $\M_i$ isomorph 
  sind, wenn> $\dim^\phi(\M_1) = \dim^\phi(\M_2)$\<. and|; außerdem> 
  $\dim^\phi(\M_i) <= \aleph_0$.
  .

\<In all the examples of uncountably categorical theories we have seen so far, 
the hypotheses of Proposition~{constMinSMCat} hold with ``constructible and 
minimal'' strengthened to "algebraic". Such a theory is called {\em almost 
strongly minimal}. The following is a natural example of an uncountably 
categorical theory which is not almost strongly minimal.
|In alle Beispiele von überabzählbar kategorische Theorien, die wir haben 
gesehen, gelten die Voraussetzungen von Proposition~{constMinSMCat}, wenn wir 
``konstruierbar und minimal'' zu ``algebraisch'' verstärken.
Solche Theorien heißen {\em fast streng minimal}. Das folgendes Beispiel ist 
ein natürliches Beispiel einer überabzählbar kategorische Theorie, die nicht 
fast streng minimal ist.>

Example|Beispiel:
  $T := \Th((\Z/4\Z)^\omega;0,+)$.

  <|Exercise|>: $T$ \<has QE and is axiomatised by|besitzt QE und ist durch 
  den folgenden Axiomen axiomatisiert:>
  $$ [\text{\<axioms for infinite abelian groups|Axiome für unendliche 
  abelsche Gruppen>} ] \cup \{ \forall x. (2x = 0 <-> \exists y. 2y = x) \} 
  .$$

  <|Let|> $G |= T$.
  <|Let|> $\lambda := |G|$.
  Claim|Behauptung*:
    $G ~= \bigoplus_{i < \lambda} \Z/4\Z$.
    .
  Proof:
    <|Let|> $[2] : G --> G;\; x |-> 2x$.
    <|Then|> $\ker([2]) = \im([2]) = 2G$.
    \<So|Somit ist> $2G$ \<is an|ein> $\F_2$-\<vector space|Vektorraum>,
    <|and|> $|2G| = |G| = \lambda$.

    <|Let|> $(b_i)_{\lambda}$ \<be an|eine> $\F_2$-<|basis|> <|for|> $2G$.
    <|Let|> $e_i (- G$\< such that|, sodass> $2e_i = b_i$. \<So|Dann> 
    $\"ord(e_i) = 4$.

    \<Now if|Sei> $g (- G$\< then|. Sei> $2g = b_{i_1} + ... + b_{i_m}$\< say;
    let|. Setze> $g' := e_{i_1} + ... + e_{i_m}$\<,
    then|. Dann> $2(g - g') = 0$\< so|, also> $g-g' (- 2G$.
    \<Hence|Daher ist> $G$ \<is generated by|durch> $(e_i)_i$\<| erzeugt>.

    \<Suppose|Sei> $\sum_{i=1}^k n_{j_i} e_{j_i} = 0$ <|with|> $n_{j_i} (- 
    \Z$.
    \<Then|Dann> $\sum_{i=1}^k n_{j_i} b_{j_i} = 2\cdot 0 = 0$,
    \<so|also> $2 | n_{j_i}$.
    <|Then|> $\sum_{i=1}^k \frac{n_{j_i}}2 b_{j_i} = 0$,
    \<so|also> $2 | \frac{n_{j_i}}2$.
    <|Hence|> $4 | n_{j_i}$.

    \<So we conclude that|Wir haben somit, dass> $G = \bigoplus_{i < \lambda} 
    (\Z/4\Z) e_i$.
    .

  \<It follows that|Es folgt, dass> $T$ \<is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for 
  all|für alle> $\kappa >= \aleph_0$\<| ist>.

  <|Let|> $\phi(x) := \exists y\. x = y+y$, \?so $\phi(G) = 2G$.
  \<By the QE,|Nach QE ist> $\phi$ \<is strongly minimal|streng minimal>.
  Claim|Behauptung*:
    $G$ \<is constructible and minimal over|ist konstruierbar und minimal 
    über> $2G$.
    .
  Proof:--
    ***)[\<Minimality|Ad Minimalität>:] \<If|Seien> $2G (= G' <~ G$
    <|and|> $g (- G \\ 2G$\<, then|. Dann gilt> $2g' = 2g$ \<for some|für ein> 
    $g' (- G'$,
    \<but then|aber dann> $g' - g (- 2G (= G'$, \<so also|also> $g (- G'$.
    \<So|Dann> $G' = G$.
    
    **[\<Constructibility|Ad Konstruierbarkeit>:]
    \<Let|Seien> $(e_i)_{i (- \lambda}$ \<be as above|wie vorher>.
    \<It follows from the QE (or by considering automorphisms and the proof of 
    the previous claim) that for
    |Es folgt aus QE, oder durch Betrachten von Automorphismusen und den 
    Beweis von der vorherigen Behauptung, dass für> $j (- \lambda$\<,| der 
    Typ>
    $\tp(e_j / 2G \cup \bigoplus_{i < j} (\Z/4\Z) e_i)$ \<is isolated 
    by|durch> $x+x = b_j$\<| isoliert ist>,
    \<and then|also> $2G \cup \bigoplus_{i <= j} (\Z/4\Z) e_i$ \<is algebraic 
    and hence constructible over|algebraisch also konstruierbar über> $2G \cup 
    \bigoplus_{i < j} (\Z/4\Z) e_i \cup \{e_j\}$\<| ist>.

    \<So we obtain a construction sequence for $G$ over $2G$ in this way.
    |Daher bauen wir eine Konstruktion für $G$ über $2G$.>
    *e)*
    .
  .


# \<Indiscernible sequences|Ununterscheidbare Folgen>

## \<Ramsey theory|Ramsey Theorie>

<|If|> $A$ \<is a set|eine Menge> <|and|> $n (- \omega$\<, we write| sind, 
schreiben wir> $[A]^n$ \<for the set of $n$-element subsets of
|für die Menge von \?$n$-Elementen Teilmengen von> $A$:
$$ [A]^n := \{ A_0 (= A : |A_0| = n \} (= \pow(A) .$$

Theorem|Satz[\<Infinite Ramsey Theorem|Unendlicher Ramseysatz>]:
  <|Let|> $A$ \<be an infinite set|eine unendliche Menge>.
  \<Let|Sei> $n (- \omega$\<, and let| und sei> $C$ \<be a finite set|eine 
  endliche Menge>.
  <|Let|> $f : [A]^n --> C$ \<be a function|eine Abbildung> (\<a ``colouring'' 
  of the $n$-element subsets|eine ``Farbung'' von den $n$-Elementen 
  Teilmengen>).
  \<Then there exists an infinite subset|Dann gibt es eine unendliche 
  Teilmenge> $B (= A$\< which is ``$f$-monochromatic'', i.e. such that $f$ is 
  constant on|, die ``$f$-einfarbig'' ist, d.h. sodass $f$ konstant auf> 
  $[B]^n$\<| ist>.
  .
Remark|Bemerkung*:
  <|With|> $n = 2 = |C|$\<, this gives that any infinite graph has an infinite 
  clique or an infinite anticlique.
  | gibt dies, dass jeder unendliche Graph eine unendliche Clique oder eine 
  unendliche Anticlique besitzt.>
  .
Proof:
  \<The case|Der Fall> $n=0$ \<is clear|ist klar>.
  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $n>0$ \<and the result holds for|und die 
  Behauptung für> $n-1$\<| gilt>.

  <|For|> $a (- A$\<, define| definiere> $f_a : [A \\ \{a\}]^{n-1} --> C; 
  f_a(A') := f(A' \cup \{a\})$.
  \<Recursively construct a sequence of infinite sets
  |Konstruiere rekursiv eine Folge von unendliche Mengen>
  $A =: B_0 )= B_1 )= ...$ \<and elements|und Elemente> $a_i (- B_i \\ 
  B_{i+1}$ <|and|> $c_i (- C$ \<as follows|wie folgt>:
  \<given|sei> $B_i$\<, let| konstruiert und sei> $a_i (- B_i$\<, and let| und 
  sei> $B_{i+1} (= B_i \\ a_i$ \<be an infinite|eine unendliche> 
  $f_{a_i}$-\<monochromatic subset, which exists by the induction hypothesis 
  since|einfarbige Teilmenge, die existiert nach der Induktionsvoraussetzung, 
  weil> $B_i$ \<is infinite|unendlich ist>\<, and let|. Sei> $c_i$\< be such 
  that|, sodass> $f_{a_i}([B_{i+1}]^{n-1}) = \{ c_i\}$.
  \<By the pigeonhole principle, let|Nach dem Schubfachprinzip sei> $c (- C$\< 
  be such that|, sodass> $c_i = c$ \<for infinitely many|für unendlich viele> 
  $i (- \omega$, \<and let|und setze> $B := \{ a_i : c_i = c \}$.

  \<Then|Dann ist> $B$ \<is $f$-monochromatic|$f$-einfarbig>.
  \<Indeed, if|In der Tat: wenn> $\{a_{i_1},...,a_{i_n}\} (= B$ \<is a subset
  with|eine Teilmenge mit> $i_1 < ... < i_n$\<, then| ist, gilt> 
  $a_{i_2},...,a_{i_n} (- B_{i_1+1}$,
  \<so|also> $$f(\{a_{i_1},...,a_{i_n}\}) = 
  f_{a_{i_1}}(\{a_{i_2},...,a_{i_n}\}) = c_{i_1} = c.$$
  .

## \<Indiscernible sequences|Ununterscheidbare Folgen>

!renewtup i
!renewtup j
\newcommand{\otup}[1]{\overrightarrow{#1}}
Notation:
  \<If $I$ is a linear order and
  |Seien $I$ eine lineare Ordnung und> $n (- \omega$\<, we write
  |. Wir schreiben> $I^{\otup n}$ \<for the set of|für die Menge von> 
  \emph{$I$-\<ordered|geordneten> $n$-\<tuples|Tupeln>} <|of|> $I$,
  $$ I^{\otup n} := \{ (i_1,...,i_n) (- I^n : i_1 < ... < i_n \} .$$

  <|If|> $(a_i)_{i (- I}$ \<is a sequence and|eine Folge ist und>
  $\i (- I^{\otup n}$,
  \<let|setze> $a_\i := (a_{i_1},...,a_{i_n})$.
  .

Definition:
  <|Let|> $I$ \<be a linear order|eine lineare Ordnung>.
  \<A sequence|Eine Folge> $(a_i)_{i (- I}$ \<of elements of a structure|von 
  Elementen einer Struktur>
  $\M$ \<is #indiscernible# if for any|heißt #ununterscheidbar#, wenn für 
  jedes> $n (- \omega$ \<and any|und jede> $\i,\j (- I^{\otup n}$,
  $$ a_\i == a_\j .$$

  \<In other words, for any|In andere Worte: für jede> $\L$-<|formula|> 
  $\phi(x_1,...,x_n)$\<, for any| und jede> $i_1 < ... < i_n (- I$ <|and|> 
  $j_1 < ... < j_n (- I$\<,| gilt>
  $$\M |= \phi(a_{i_1},...,a_{i_n}) <-> \phi(a_{j_1},...,a_{j_n}) .$$
  .

Examples|Beispiele:
  ***) \<Any constant sequence|Jede konstante Folge>, $(a_i)_{i (- I}$ 
  <|with|> $a_i = a (- \M$ \<for all|für alle> $i$, \<is indiscernable|ist 
  ununterscheidbar>.
  ** <|If|> $\phi(x)$ \<is strongly minimal|streng minimal> in $\Th(\M)$ 
  \<and|ist und> $A (= \phi(\M)$ \<is|> $\acl$-\<independent, then 
  Lemma~{smIndieGen}(ii) shows that for any linear order $I$ and any injection 
  |unabhängig ist, gibt Lemma~{smIndieGen}(ii), dass für jede lineare Ordnung 
  $I$ und jede Injektion>
  $I --> A; i |-> a_i$\<, the sequence| die Folge> $(a_i)_{i (- I}$ \<is 
  indiscernible|ununterscheidbar ist>.
  ** <|Let|> $\M |= \DLO$.
  \<Then by QE, any strictly increasing sequence of elements|Nach QE ist jede 
  echt aufsteigende Folge von Elementen> $(a_i)_{i (- I}$ \<is 
  indiscernible|ununterscheidbar>.
  *e)*
  .

!newop EM

Definition:
  <|Let|> $(a_i)_{i (- I}$ \<be a sequence of elements of an|eine Folge von 
  Elementen einer> $\L$-<|structure|> $\M$, <|where|> $I$ \<is a linear 
  order|eine lineare Ordnung ist>.

  \<The|Der> \defn{Ehrenfeucht-Mostowski \<type|Typ>} (EM-\<type|Typ>) <|of|> 
  $(a_i)_{i (- I}$ in $\M$ <|is|>
  $$ \EM((a_i)_i) = \{ \phi(\x) : \phi(\x) \text{ an $\L$-formula};\;
  \forall \i (- I^{\otup{|\x|}}.\> \M |= \phi(a_\i) \} .$$
  .

Remark|Bemerkung:
  $(a_i)_{i (- I}$ \<is indiscernible if and only if|ist ununterscheidbar 
  genau dann, wenn> $\EM((a_i)_i)$ \<is complete in the sense that for 
  every|vollständig ist, in dem Sinne, dass für jede>
  $\L$-<|formula|> $\phi$ \<either|entweder> $\phi$ <|or|> $\neg\phi$ \<is in 
  the EM-type|in dem EM-Typ ist>.
  .

Lemma{standard}:
  \<Let|Seien> $I$ <|and|> $J$ \<be infinite linear orders|unendliche lineare 
  Ordnungen>.
  <|Let|> $(a_i)_{i (- I}$ \<be a sequence of elements of a structure|eine 
  Folge von Elementen einer Struktur> $\M$.

  \<Then there exists|Dann gibt es> $\M' == \M$ \<and an indiscernible 
  sequence|und eine ununterscheidbare Folge> $(b_j)_{j (- J}$ \<of elements 
  of|von Elementen von> $\M'$\< such that|, sodass> $\EM((a_i)_{i (- I}) (= 
  \EM((b_j)_{j (- J})$.
  .
Proof:
  <|Let|> $(c_j)_{j (- J}$ \<be new constants|neue Konstante>.
  \<It suffices to show consistency of|Es genügt zu zeigen die Konsistenz von>
  *\[a* T := \Th(\M)
  \cup & \{ \psi(c_\j) : \psi(\x) (- \EM((a_i)_i);\; \j (- J^{\otup{|\x|}} \} 
  \\\
  \cup &\{ \phi(c_\j) <-> \phi(c_{\j'})
  : \phi(\x) \text{ \<an|eine> $\L$-<|formula|>};\; \j,\j' (- J^{\otup{|\x|}} 
  \} .*a\]*
  
  <|Let|> $T_0 (=f T$ \<be finite|endlich>.
  \<By compactness, it suffices to show consistency of|Nach Kompaktheit genügt 
  es zu zeigen Konsistenz von> $T_0$.
  <|Let|> $n$ \<be the maximum number of free variables in the formulas|die 
  maximale Anzahl von freie Variablen in den Formeln> $\phi$ \<such that|in 
  die> $(\phi(c_{\j}) <-> \phi(c_{\j'}))$\< appears in $T_0$, so we can write 
  each such|, die in $T_0$ vorkommen; also wir können jede diese> $\phi$ 
  \<as|als> $\phi(x_1,...,x_n)$\<| schreiben>.
  <|Let|> $\Delta$ \<be the finite set of these|die endlich Menge von diesen> 
  $\phi(x_1,...,x_n)$.

  \<Define|Definiere> $f : I^{\otup n} --> 2^{\Delta}$ \<by|durch>
  $$f(\i) := ({ \phi |-->
  Cases:
    1 & \M |= \phi(a_\i) \\\
    0 & \M |= \neg \phi(a_\i)
    .
    }).$$
  \<By Ramsey (applied via the obvious bijection|
  Nach Ramsey (verwendet via der offensichtliche Bijektion> $I^{\otup n} -==-> 
  [I]^n$, \<namely|nämlich> $\i |-> \{ i_1,...,i_n \}$)\<, let| sei> $I' (= I$ 
  \<be an infinite $f$-monochromatic subset.
  |eine unendliche $f$-einfarbige Teilmenge.>
  <|Let|> $\j (- J^{\otup m}$\< be such that|, sodass> $c_\j$ \<is the tuple 
  of those constants which appear in
  |der Tupel von den Konstante, die in> $T_0$\<| vorkommen, ist>.
  <|Let|> $\i (- (I')^{\otup m}$.
  <|Then|> $(\M;a_\i) |= T_0$.
  .

Lemma{indiscEx}:
  <|Let|> $T$ \<be a theory with infinite models|eine Theorie mit unendlichen 
  Modelle>.
  <|Let|> $J$ \<be an infinite linear order|eine unendliche lineare Ordnung>.
  \<Then|Dann hat> $T$ \<has a model with a non-constant indiscernible 
  sequence|ein Modell mit einer nicht-konstanten ununterscheidbaren Folge> 
  $(b_j)_{j (- J}$.
  .
Proof:
  <|Let|> $\M$ \<be an infinite model, and let|ein unendliches Modell und sei> 
  $(a_i)_{i (- \omega}$ \<be a sequence of distinct elements of|eine Folge von 
  verschiedenen Elementen von> $\M$. \<Now apply|Verwende> Lemma~{standard}\< 
  to obtain|, das gibt> $(b_j)_{j (- J}$, \<and note|und bemerke, dass> $b_j 
  /= b_{j'}$ <|for|> $j /= j'$, <|since|>
  $x_1 ./= x_2 (- \EM((a_i)_i) (= \EM((b_j)_J)$.
  .

## \<Uncountable categoricity|Überabzählbare Kategorizität> $==>$ $\omega$-<|stability|>
<|Let|> $T$ \<be a countable complete theory with infinite models|eine 
abzählbare vollständige Theorie mit unendlichen Modelle>.

Lemma{cbleRealised}:
  <|Let|> $\kappa$ \<be an infinite cardinal|eine unendliche Kardinalzahl>.
  \<Then there is|Dann gibt es> $\M |= T$\< such that|, sodass> $|\M| = 
  \kappa$ \<and if|und für jedes> $B (= \M$ <|with|> $|B| <= \aleph_0$\< 
  then|:> $$|{ \{\tp(a/B) : a (- \M\} }| <= \aleph_0.$$
  .
Proof:
  \<By|Nach> Lemma~{skolemisation}\<, we may assume $T$ has built-in Skolem 
  functions.
  | können wir annehmen, dass $T$ interne Skolemfunktionen besitzt.>

  \<By|Nach> Lemma~{indiscEx}\<, we may find| gibt es> $\N |= T$ \<with a 
  non-constant indiscernible sequence of elements|mit eine nicht-konstante 
  ununterscheidbare Folge von Elementen> $(a_i)_{i (- \kappa}$.

  \<Let|Setze> $\M := <{ \{a_i\}_i }>^\N$. \<By|Nach> Lemma~{skolemHull}\<,| 
  gilt> $\M <~ \N$.
  \<Since|Weil> $|T| <= \aleph_0$, \<we have|gilt> $|\M| = \kappa$.

  <|Let|> $B (= \M$ \<be countable; we conclude by showing that $\M$ realises 
  only countably many types over $B$.
  |abzählbar; es genügt zu zeigen, dass $\M$ realisiert nur abzählbar viele 
  Typen über $B$.>
  \<Say|Sei> $B = \{f_k(a_{\i_k}) : k (- \omega\}$, <|where|> $f_k$ \<is a 
  term and|ein Term ist und> $\i_k (- \kappa^{\otup{n_k}}$;
  <|let|> $I_B (= \kappa$ \<be the indices appearing|die Menge von Indizes, 
  die vorkommen>.
  <|Let|> $c (- \M$.
  \<Say|Sei> $c = g(a_\j)$, <|where|> $g$ \<is a term and|ein Term ist und> 
  $\j (- \kappa^{\otup{n}}$.
  \<Then by indiscernability,|Nach Ununterscheidbarkeit hängt> $\tp(c/B)$ 
  \<depends only on the term $g$ (for which there are countably many 
  possibilities) and
  |nur von den Term $g$ (für den es nur abzählbar viele Möglichkeiten gibt) 
  und>
  \<the quantifier-free 1-types
  |die quantorenfreien 1-Typen>
  $\qftp^{(\kappa;<)}(j_i / I_B)$ <|for|> $1 <= i <= |\j|$\<| ab>.
  \<So we conclude by the following Claim and the countability of
  |Dann folgt das Lemma nach der folgenden Behauptung und der Abzählbarkeit 
  von> $I_B$.

  Claim|Behauptung*:
    <|Let|> $J (= \kappa$ \<infinite|unendlich>. <|Then|> $|\{ 
    \qftp^{(\kappa;<)}(\alpha / J) : \alpha (- \kappa\}| = |J|$.
    .
  Proof:
    <|Let|> $\alpha (- \kappa \\ J$.
    <|Then|> $\qftp(\alpha/J)$ \<is determined by the cut $\alpha$ makes in 
    $J$, i.e. by |ist bestimmt durch dem Schnitt von $\alpha$ in $J$, d.h. 
    durch> $J_{>\alpha} := \{ \gamma (- J : \gamma > \alpha\}$.
    <|If|> $J_{>\alpha}$ \<is non-empty, it is determined by|nicht leer ist, 
    ist es bestimmt durch>
    $\min J_{>\alpha} (- J$, \<which exists by well-orderedness|das existiert 
    nach Wohlgeordnetheit>.

    \<So there are|Somit gibt es> $<= |J|$ \<possibilities for|Möglichkeiten 
    für> $\qftp(\alpha/J)$ <|with|> $\alpha (- \kappa \\ J$, \<and clearly 
    there are|und offensichtlich gibt es> $|J|$ \<possibilities 
    for|Möglichkeiten für> $\qftp(\alpha/J)$ <|with|> $\alpha (- J$.
    .
  .

Proposition{uCatWStab}:
  <|If|> $T$ \<is an uncountably categorical theory then $T$ totally 
  transcendental.
  |eine überabzählbar kategorische Theorie ist, ist $T$ total transzendent.>
  .
Proof:
  \<Say|Sei> $T$ \<is categorical in|kategorisch in> $\lambda > \aleph_0$ 
  \<but not totally transcendental|aber nicht total transzendent>.
  \<By Theorem~{wstabtt},|Nach Satz~{wstabtt} ist> $T$ \<is not|nicht>
  $\omega$-<|stable|>.
  \<So say|Sei somit> $A (= \M |= T$ <|with|> $|A| <= \aleph_0$ <|but|> 
  $|S_1(A)| > \aleph_0$.
  <|Let|> $P (= S_1(A)$ <|with|> $|P| = \aleph_1$.
  \<By|Nach> Lemma~{realiseAll} \<we find|finden wir> $\M' >~ \M$ <|and|> $b_p 
  (- \M'$ <|for|> $p (- P$ <|with|> $\tp(b_p/A) = p$.
  \<By|Nach> Löwenheim-Skolem \<we find an elementary extension or 
  substructure|finden wir eine elementare Erweiterung oder Unterstruktur> 
  $\M''$ <|of|> $\M'$\< containing|, die> $A \cup \{b_p : p (- P\}$\<| 
  enthält>, <|with|> $|\M''| = \lambda$.

  \<But by|Aber nach> Lemma~{cbleRealised}\<, there is a model of cardinality 
  $\lambda$ which realises only countably many types over countable sets, 
  which therefore is not isomorphic to $\M''$, contradicting categoricity.
  | gibt es ein Modell von Mächtigkeit $\lambda$, das nur abzählbar viele 
  Typen über abzählbare Mengen realisiert, das also nicht isomorph zu $\M''$ 
  ist, was Kategorizität widerspricht.>
  .

Corollary|Korollar{catSat}:
  <|Let|> $\lambda > \aleph_0$.
  \<Then|Dann ist> $T$ \<is|> $\lambda$-<|categorical|> \<iff|genau dann, 
  wenn> \<every model of cardinality|jedes Modell der Mächtigkeit> $\lambda$ 
  \<is saturated|saturiert ist>.
  .
Proof:
  ***)[$<==$] Lemma~{satIsom}.
  **[$==>$]
  \<By|Nach> Proposition~{uCatWStab} <|and|> 
  \<Corollary~{wstabtt},|Korollar~{wstabtt} ist>
  $T$ \<is|> $\lambda$-<|stable|>.
  \<For each|Für jedes> $\kappa < \lambda$
  \<by Corollary~{satStable}(ii)|hat $T$ nach Korollar~{satStable}(ii)>
  \<$T$ has a|ein> $\kappa^+$-\<saturated model of cardinality|saturiertes 
  Modell der Mächtigkeit> $\lambda$.
  \<So by|Dann durch> $\lambda$-<|categoricity|>\<, every model of 
  cardinality| ist jedes Modell der Mächtigkeit> $\lambda$ \<is|> 
  $\kappa^+$-<|saturated|> \<for all|für alle> $\kappa < \lambda$,
  \<and hence|also> $\lambda$-<|saturated|>.
  *e)*
  .

# \<Vaughtian pairs|Vaughtsche Paare>
<|Let|> $T$ \<be a countable complete $\L$-theory with infinite models|eine 
abzählbare vollständige $\L$-Theorie mit unendlichen Modelle>.

Definition:--
  ***) \<A|Ein> \defn{\<Vaughtian triple|Vaughtsches Tripel>} (in $T$) \<is a 
  triple|ist ein Tripel> $(\N,\M,\phi)$, <|where|>
    ***) $\M |= T$;
    ** $\N >~ \M$ \<is a proper elementary extension|eine echte elementare 
    Erweiterung ist>;
    ** $\phi(x)$ \<is an non-algebraic|eine nicht-algebraische> 
    $\L(\M)$-<|formula|>\<| ist>;
    ** $\phi(\N) = \phi(\M)$.
    *e)*
    $(\N,\M)$ \<is then called a|ist dann ein> \defn{\<Vaughtian 
    pair|Vaughtsches Paar>}.

  ** $T$ \defn{\<has a Vaughtian pair|hat ein Vaughtsches Paar>}\< if there is 
  some Vaughtian pair, i.e. if there is some Vaughtian triple.
  |, wenn es ein Vaughtsches Paar gibt, d.h. wenn es ein Vaughtsches Tripel 
  gibt.>
  *e)*
  .

Examples|Beispiele:--
  ***) $((\{0,1\} \times \Q;<), (\{0\} \times \Q; <), x < (0,0))$ \<is a 
  Vaughtian triple in|ist ein Vaughtsches Tripel in> $\DLO$, \<where the order 
  is the lexicographic order|wobei die Ordnung ist die lexikografische 
  Ordnung>.

  ** $((\omega + \omega; \omega), ((\omega + \omega) \\ \{0\}; \omega \\ 
  \{0\}), \neg P)$ \<is a Vaughtian triple in the language|ist ein Vaughtsches 
  Tripel in der Sprache> $\{P\}$, <|where|> $P$ \<is a unary predicate|ein 
  unäres Prädikatszeichen ist>.
  *e)*
  .

Lemma{VPElimExInf}:
  <|If|> $T$ \<has no Vaughtian pairs then|kein Vaughtsches Paar hat, 
  eliminiert> $T$ \<eliminates|den Quantor> $\exinf$.
  .
Proof:
  \<It suffices to consider the one variable case, since
  |Es genügt zu betrachten den 1-Variable Fall, weil> $\exists^{\infty} \x\. 
  \phi(\x,\y)$ \<can be expressed by|durch>
  $\\//_i \exists^{\infty} x_i\. \exists 
  x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_{|\x|}\. \phi(\x,\y)$\<| ausgedrückt sein 
  kann>.

  \<So suppose for a contradiction that|Nehmen wir also für einen Widerspruch 
  an, dass> $\phi(x,\y)$ \<is an|eine> $\L$-<|formula|> <|and|> $\b_i (- \M_i 
  |= T$ \<are such that|sind so, dass> $i |-> |\phi(\M_i,\b_i)|$ \<is a 
  strictly increasing function|eine echte aufsteigende Abbildung> $\omega --> 
  \omega$\<| ist>.
  \<Realising each|Durch Realisieren von jedem> $\tp(\b_i)$ in \<an|einem> 
  $\omega$-\<saturated|saturiertes> <|model|> $\M$, \<we may assume|können wir 
  annehmen, dass> $\M_i = \M$ \<for all|für alle> $i (- \omega$.

  <|Let|> $\N ~> \M$ \<be a proper elementary extension|eine echte elementare 
  Erweiterung>.
  <|Let|> $\U$ \<be a non-principal ultrafilter on|ein Ultrafilter, der kein 
  Hauptultrafilter ist, auf> $\omega$.
  \<Then|Dann ist> $\N^\U ~> \M^\U$ \<is also a proper elementary 
  extension|auch eine echte elementare Erweiterung>
  (\<indeed, if|In der Tat: Wenn> $c (- \N \\ \M$, \<then|gilt> (via \<the 
  diagonal embedding|der diagonalen Einbettung>) $c (- \N^\U \\ \M^\U$).
  <|Let|> $\b = \lim_{i --> \U}\b_i (- \M^\U$.
  \<Then|Dann ist> $\phi(\M^\U,\b)$ \<is infinite|unendlich>,
  <|but|> $\phi(\N^U,\b) = \phi(\M^U,\b)$,
  <|since|> $\phi(\N,\b_i) = \phi(\M,\b_i)$ \<for all|für alle> $i$.
  \<So|Somit ist> $(\N^\U,\M^\U,\phi(x,\b))$ \<is Vaughtian|Vaughtsche>.
  .

Lemma{noVPMin}:
  <|If|> $T$ \<has no Vaughtian pairs|kein Vaughtsches Paar hat>
  <|and|> $A (= \N |= T$
  <|and|> $\phi(x)$ \<is a non-algebraic|eine nicht-algebraische> 
  $\L(A)$-<|formula|>\<| ist>,
  \<then|ist> $\N$ \<is minimal over|minimal über> $A \cup \phi(\N)$.
  .
Proof:
  \<Otherwise, there is|Sonst gibt es> $\M <~ \N$ <|with|> $A \cup \phi(\N) (= 
  \M (!= \N$.
  <|Then|> $\phi(\M) = \phi(\N)$
  <|and|> $\phi$ \<is an|ist eine> $\L(\M)$-<|formula|>.
  \<So|Also ist> $(\N,\M,\phi)$ \<is Vaughtian|Vaughtsche>.
  .

Lemma{wstabVP}:
  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $T$ \<is|> $\omega$-<|stable|> \<and|ist und>
  $(\N_0,\M_0,\phi)$ \<is a Vaughtian triple|ein Vaughtsches Tripel ist>.
  <|Let|> $\kappa > \aleph_0$.
  \<Then there exists a Vaughtian triple|Dann gibt es ein Vaughtsches Tripel> 
  $(\N^\kappa,\M,\phi)$ <|with|> $|\N^\kappa| = \kappa$ <|and|> $|\M| = 
  \aleph_0$.
  .
Proof:
  $\phi$ \<is an|ist eine> $\L(A)$-<|formula|> \<for some finite|für ein 
  endliches> $A (= \M_0$.
  \<Replacing|Durch Ersetzung von> $T$ <|with|> $\Th((\M_0)_A)$, \<which is 
  also|die auch> $\omega$-<|stable|>\<| ist>,
  \<we may assume|können wir annhemen, dass> $\phi$ \<is an|eine> 
  $\L$-<|formula|>\<| ist>.

  Claim|Behauptung*:
    \<There is a Vaughtian triple|Es gibt ein Vaughtsches Tripel> 
    $(\N,\M,\phi)$
    <|with|> $\N$ <|and|> $\M$ \<countable saturated models|abzählbare 
    saturiete Modelle>.
    .
  Proof:
    <|Let|> $\L_P := \L \dotcup \{P\}$, <|where|> $P$ \<is a unary predicate 
    symbol|ein unäres Prädikatszeichen ist>.
    <|Let|>
    *\[a* T_P &:= T\\\
    &\cup \{ \forall \x\. (//\\_i P(x_i) --> (\exists y\. \psi(\x,y) --> 
    \exists y\. (P(y) /\ \psi(\x,y)))) : \psi(\x,y)\text{ \<an|eine> 
    $\L$-<|formula|>}\} \\\
    &\cup \{ \forall x\. (\phi(x) --> P(x)) \} \\\
    &\cup \{ \exists x\. \neg P(x) \}.
    *a\]*
    <|For|> $\N$ \<an|eine> $\L$-<|structure|> <|and|> $A (= \N$\<, let| 
    setze> $(\N;A)$ \<be the|die> $\L_P$-<|structure|>\< expanding|, die> $\N$ 
    \<with|expandiert und mit> $P((\N;A)) = A$.
    <|Then|> (\<using the Tarski Test|nach dem Tarski-Test>) $(\N;\M) |= T_P$ 
    \<if and only if|genau dann, wenn> $\N |= T$ <|and|> $(\N,\M,\phi)$ \<is 
    Vaughtian|Vaughtsche ist>.

    $T_P$ \<is consistent|ist konsistent>, <|since|> $(\N_0;\M_0) |= T_P$. 
    \<By|Nach> Löwenheim-Skolem\<, let| sei> $(\N_0';\M_0')$ \<be a countable 
    model of|ein abzählbares Modell von> $T_P$.
    \<We now proceed as in Theorem~{satExistSmall}|Wir gehen wie in 
    Satz~{satExistSmall} vor>:
    \<Build an elementary chain of countable models|Wir konstruieren eine 
    elementare Kette von abzählbare Modelle> $(\N_0';\M_0') <~ (\N_1';\M_1') 
    <~ ...$ \<by taking|mit> $(\N_{i+1}';\M_{i+1}')$ \<such that|so gewählt, 
    dass> $\N_{i+1}'$ \<realises all|alle> $\L$-\<types over finite subsets 
    of|Typen über endliche Teilmenge von> $\N_i'$ \<|realisiert> <|and|> 
    $\M_{i+1}'$ \<realises all|alle> $\L$-\<types over finite subsets of|Typen 
    über endliche Teilmenge von> $\M_i'$\<| realisiert>; \<this is possible 
    since|dies ist möglich, weil> $T$ \<is small since|schmal weil> 
    $\omega$-<|stable|>\<, and any| ist und jeder> $\L$-\<type|Typ> $p(x)$ 
    \<over a subset of|über eine Teilmenge von> $\M_i'$ \<is consistent|ist 
    konsistent> modulo $T_P$ <|with|> $P(x)$.

    \<Then|Dann ist> $(\N;\M) := \bigcup_{i (- \omega} (\N_i';\M_i') |= T_P$ 
    \<is countable, and both|abzählbar, und beide> $\N$ <|and|> $\M$ \<are 
    saturated as models of|sind saturiert als Modelle von> $T$.
    .

  Claim|Behauptung*:
    \<There is|Es gibt> $\N' >~ \M$ <|with|> $|\N'| = \aleph_1$\< such that|, 
    sodass>
    $(\N',\M,\phi)$ \<is Vaughtian|Vaughtsche ist>. \<In 
    particular,|Insbesondere gilt> $|\phi(\N')| = \aleph_0$.
    .
  Proof:
    \<We build an elementary chain|Wir konstruieren eine elementare Kette> 
    $(\M^\alpha)_{\alpha (- \aleph_1}$ \<of countable saturated models 
    with|von abzählbare saturierte Modelle mit> $\phi(\M^\alpha) = \phi(\M)$.

    <|Let|> $\M^0 := \M$.
    \<Given|Sei> $\M^\alpha$\<, let| konstruiert und setze> $\M^{\alpha+1} >~ 
    \M^\alpha$\< be such that|, sodass> $(\M^{\alpha+1},\M^\alpha) ~= 
    (\N,\M)$\<, which exists since|; dies existiert, weil> $\M^\alpha ~= \M$ 
    (\<by saturation and|nach Saturiertheit und> Lemma~{satIsom}).
    <|Then|> $\phi(\M^{\alpha+1}) = \phi(\M^\alpha) = \phi(\M)$, <|and|> 
    $\M^{\alpha+1}$ \<is countable and saturated|ist abzählbar und saturiert>.
    <|For|> $\eta (- \aleph_1$ \<a limit ordinal, let|eine Limeszahl setze> 
    $\M^\eta := \bigcup_{\alpha < \eta} \M^\alpha$.
    <|Then|> $\phi(\M^\eta) = \bigcup_{\alpha < \eta} \phi(\M^\alpha) = 
    \phi(\M)$, <|and|> $\M^\eta$ \<is countable and saturated|ist abzählbar 
    und saturiert>.

    \<Finally, let|Schließlich sei> $\N' := \bigcup_{\alpha (- \aleph_1} 
    \M^\alpha$.
    <|Then|> $\phi(\N') = \phi(\M)$, <|and|> $|\N'| = \aleph_1$\<|,> <|since|> 
    $\M^{\alpha+1} )!= \M^\alpha$.
    .

  Claim|Behauptung*:
    \<Suppose|Sei> $\A |= T$ \<and|mit> $|\A| > \aleph_0$ <|but|> $|\phi(\A)| 
    = \aleph_0$.
    \<Then there is|Dann gibt es> $\B$\< such that|, sodass> $(\B,\A,\phi)$ 
    \<is Vaughtian|Vaughtsche ist> <|and|> $|\B| = |\A|$.
    .
  Proof:
    \<Say an|Nenne eine> $\L(\A)$-<|formula|> $\theta(x)$ \<is /countable/ 
    resp. /uncountable/ if|\emph{abzählbar} bzw. \emph{überabzählbar}, wenn>  
    $\theta(\A)$ \<is|ist>.
    <|Since|> $x.=x$ \<is uncountable and there is no binary tree 
    of|überabzählbar ist und es kein binären Baum von> 
    $\L(\A)$-<|formulas|>\<| gibt>,
    \<there exists an uncountable|gibt es eine überabzählbare $\L(\A)$-Formel> 
    $\psi(x)$\< such that for every|, sodass für jede> $\L(A)$-<|formula|> 
    $\theta(x)$ <|either|> $\psi(x) /\ \theta(x)$ <|or|> $\psi(x) /\ 
    \neg\theta(x)$ \<is countable|abzählbar ist>\footnote{
    \<Such a formula $\psi$ is called /quasiminimal/, by analogy with a 
    minimal formula.
    |Eine solche Formel $\psi$ heißt /quasiminimal/, in Analagon mit einer 
    minimalen Formel.>
    }.
    <|Then|> $p(x) := \{ \theta(x) : \psi(x) /\ \theta(x) \text{ \<is 
    uncountable|überabzählbare ist>} \}$ \<is a type|ist ein Typ>.

    <|Let|> $b |= p(x)$ \<be a realisation in some elementary extension|eine 
    Realisierung in einer elementaren Erweiterung>, $b (- \A' >~ \A$.
    \<By Theorem~{ttConst}|Nach Satz~{ttConst}>\<, we can find| können wir 
    finden> $\A \cup \{b\} (= \B <~ \A'$ <|with|> $\B$ \<constructible 
    over|konstruierbar über> $\A \cup \{b\}$.
    \<By|Nach> Löwenheim-Skolem <|and|> \<primeness,|Primheit gilt> $|\B| = 
    |\A \cup \{b\}| = |\A|$.
    \<By|Nach> Lemma~{constAtom} (<|Exercise|> 10.2)\<,| ist> $\B$ \<is atomic 
    over|atomar über> $\A \cup \{b\}$.
    
    \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $\phi(\B) /= \phi(\A)$\<, say|. Sei> $c (- 
    \phi(\B) \\ \phi(\A)$.
    <|Say|> $\xi(x,b)$ \<is an|eine> $\L(\A)$-<|formula|>\< isolating|, die> 
    $\tp(c/\A\cup\{b\})$\<| isoliert>.
    <|Then|> $$b |= \Theta(y) := \{ \exists x\. \xi(x,y) \}
    \cup \{ \forall x\. (\xi(x,y) --> (\phi(x) /\ x ./= a)) : a (- \phi(\A) 
    \}.$$
    \<Now|Nun enthält> $\Theta(y) (= p(y)$ \<consists of countably many 
    formulas, so by the definition of|abzählbar viele Formeln, also nach der 
    Definition von> $p$\<,| ist>
    $\psi(\A) \cap \bigcap \{ \theta(\A) : \theta(y) (- \Theta(y) \}$ \<is an 
    intersection of countably many cocountable subsets of the uncountable 
    set|eine Durchschnitt von abzählbar viele coabzählbare Teilmenge von der 
    überabzählbare Menge> $\psi(\A)$, \<so is non-empty|also nicht-leer>.
    \<So there is|Somit gibt es> $b' (- \A$\< such that|, sodass> $b' |= 
    \Theta(y)$.
    \<Then there is|Dann gibt es> $c'$\< such that|, sodass> $\A |= 
    \xi(c',b')$\<, and then|. Dann> $\A |= \phi(c')$, <|but|> \<for each|für 
    jedes> $a (- \phi(\A)$ \<we have|gilt> $\c' /= a$, \<which is a 
    contradiction|was einen Widerspruch ist>.
    .

  \<Using this last claim at successor stages and taking unions at limit 
  stages and setting $\N^0 := \N'$, we build an elementary chain 
  |Setze $\N^0 := \N'$.
  Durch Anwendung von dieser letzten Behauptung für Nachfolgerordinalzahlen 
  und Nehmen von Vereinigungen für Limeszahlen, bauen wir eine elementare 
  Kette>
  $(\N^\alpha)_{\alpha (- \kappa}$\< such that for all|, sodass für alle> 
  $\alpha (- \kappa$:
  ***) $\phi(\N^\alpha) = \phi(\M)$;
  ** $\N^{\alpha+1}$ \<is a proper extension of|eine echte elementare 
  Erweiterung von> $\N^{\alpha}$\<| ist>;
  ** $|\N^\alpha| = |\alpha| + \aleph_1$.
  *e)*
  <|Set|> $\N^\kappa := \bigcup_{\alpha (- \kappa} \N^\alpha$.
  <|Then|> $|\N^\kappa| = \kappa$,
  <|and|> $(\N^\kappa,\M,\phi)$ \<is Vaughtian|ist Vaughtsche>.
  .

Proposition{uCatVP}:
  \<Suppose|Angenommen,> $T$ \<is uncountably categorical|ist überabzählbar 
  kategorische>.
  \<Then|Dann hat> $T$ \<has no Vaughtian pairs|kein Vaughtsches Paar>.
  .
Proof:
  \<By|Nach> Proposition~{uCatWStab}\<,| ist>
  $T$ \<is|> $\omega$-<|stable|>.
  <|Say|> $\kappa > \aleph_0$\< is such that|, sodass> $T$ \<is|> 
  $\kappa$-\<categorical|kategorisch ist>,
  <|and|> <|let|> $\M$ \<be the model of cardinality|das Modell von 
  Mächtigkeit> $\kappa$.
  \<Suppose|Nehmen wir an, dass> $T$ \<has a Vaughtian pair|ein Vaughtsches 
  Paar hat>. \<Then by|Nach> Lemma~{wstabVP}\<, there is an| gibt es dann 
  eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(x)$\< such that|, sodass> $|\phi(\M)| = 
  \aleph_0$.
  \<But then|Aber dann ist> $\M$ \<is not saturated|nicht saturiert>, \<since 
  it omits|weil es> $\{ \phi(x) \} \cup \{ x ./= a : a (- \phi(\M) \}$\<| 
  vermeidet>.
  \<This contradicts Corollary~{catSat}.
  |Dies widerspricht Korollar~{catSat}.>
  .

# Baldwin-Lachlan

Lemma{ttMinConst}:
  <|Let|> $T$ \<be a totally transcendental theory|eine total transzendente 
  Theorie>.
  \<If|Wenn> $A (= \M |= T$
  <|and|> $\M$ \<is minimal over|minimal über> $A$\<| ist>,
  \<then|ist> $\M$ \<is constructible over|konstruierbar über> $A$.
  .
Proof:
  \<By Theorem~{ttConst}, there is|Nach Satz~{ttConst} gibt es>
  $A (= \N <~ \M$ <|with|> $\N$ \<constructible over|konstruierbar über> $A$.
  \<By the minimality,|Nach der Minimalität gilt> $\N = \M$.
  .


Theorem|Satz[Baldwin-Lachlan]:
  <|Let|> $T$ \<be a countable complete theory with infinite models|eine 
  abzählbare vollständige Theorie mit unendlichen Modelle>.
  \<TFAE|Dann sind äquivalent>:
  ***(i) $T$ <|is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for some|für ein> $\kappa > 
  \aleph_0$;
  **(ii) $T$ <|is|> $\omega$-<|stable|> <|and|> \<has no Vaughtian pairs|hat 
  kein Vaughtsches Paar>;
  **(iii) $T$ \<has a prime model|besitzt ein Primmodell> $\M_0$ \<and a 
  strongly minimal|und eine streng minimale> $\L(\M_0)$-<|formula|> 
  $\phi(x)$\< such that any|, sodass jedes> $\M >~ \M_0$ \<is constructible 
  and minimal over|konstruierbar und minimal über> $\M_0 \cup \phi(\M)$\<| 
  ist>;
  **(iv) $T$ <|is|> $\kappa$-<|categorical|> \<for all|für alle> $\kappa > 
  \aleph_0$
  \<and has|und besitzt> $<= \aleph_0$ \<countable models up to 
  isomorphism|abzählbare Modelle bis auf Isomorphie>.
  *ee*
  .
Proof:--
  ***)[(i) $=>$ (ii)]
    Proposition~{uCatWStab} <|and|> Proposition~{uCatVP}.
  **[(ii) $=>$ (iii)]
    \<By Theorem~{ttConst}|Nach Satz~{ttConst}> (<|or|> 
    Proposition~{smallPrime})\<,| besitzt> $T$ \<has a prime model|ein 
    Primmodell> $\M_0$.

    \<By|Nach> Lemma~{VPElimExInf} <|and|> 
    \<Corollary~{wstabSM},|Korollar~{wstabSM}>
    \<there is a strongly minimal|gibt es eine streng minimale> 
    $\L(\M_0)$-<|formula|> $\phi(x)$.

    <|Let|> $\M >~ \M_0$.
    \<By|Nach> Lemma~{noVPMin}\<,| ist> $\M$ \<is minimal over|minimal über> 
    $\M_0 \cup \phi(\M)$.
    \<By|Nach> Lemma~{ttMinConst}\<,| ist> $\M$ \<is also constructible 
    over|auch konstruierbar über> $\M_0 \cup \phi(\M)$.
  **[(iii) $=>$ (iv)] Proposition~{constMinSMCat}.
  **[(iv) $=>$ (i)] \<Immediate|Sofort>.
  *e)*
  .

% Make this an exercise?
%Corollary:
  %structure on a definable set of $\aleph_1$-cat is $\aleph_1$-cat
  %(note not true that reduct of $\aleph_1$-cat is $\aleph_1$-cat)
  %.

Corollary|Korollar[\<Morley's Theorem|Morleysatz>]:
  \<A countable complete theory is categorical in some uncountable cardinal if 
  and only if it is categorical in all uncountable cardinals.
  |Eine abzählbare vollständige Theorie ist in einer überabzählbare 
  Kardinalzahl kategorisch genau dann, wenn sie in aller überabzählbare 
  Kardinalzahlen kategorisch ist.>
  .

Fact|Fakt[Baldwin-Lachlan]:
  (iv) \<can be improved to say|kann verbessert werden,>
  ``<|either|> 1 <|or|> $\aleph_0$ \<countable models|abzählbare Modelle>''\<| 
  zu sagen>.
  .

# \<Morley rank|Morleyrang>

\newcommand{\Onpm}{\On^{\pm\infty}}
Definition:
  <|Let|> $\Onpm := \{-\infty\} \cup \On \cup \{+\infty\}$ \<be the well-order 
  extending $\On$|die Wohlordnung, die $\On$ erweitert>,
  <|where|> $\forall \alpha (- \On\. -\infty < \alpha < +\infty$.

  <|Let|> $\M$ \<be an|eine> $\L$-<|structure|>.

  ***) \<The|Der> \defn{\<Morley rank|Morleyrang> in $\M$} \<of an|einer> 
  $\L(\M)$-<|formula|> $\phi(\x)$ <|is|>
  $$\MR^\M(\phi) := \inf \{ \alpha (- \Onpm : \MR^\M(\phi) <= \alpha \} (- 
  \Onpm,$$
  <|where|> \<we recursively define|wir rekursiv definieren> $\MR^\M(\phi) <= 
  \alpha (- \Onpm$ \<by|durch>:
  ***) $\MR^\M(\phi) <= -\infty$, <|if|> $\phi(\M) = {}$;
  ** $\MR^\M(\phi) <= \alpha (- \"On$, <|if|> \<for any|für jede> 
  $\L(\M)$-<|formulas|> $(\psi_i(\x))_{i (- \omega}$\< defining disjoint 
  subsets of|, die disjunkte Teilmengen von> $\phi(\M)$\<| definieren>
  (\<i.e. for all|d.h. für alle> $i /= j (- \omega$ \<we have|gilt> 
  $\psi_i(\M) (= \phi(\M)$ <|and|> $\psi_i(\M) \cap \psi_j(\M) = {}$),
  \<there are|existieren> $i (- \omega$ <|and|> $\beta (- \Onpm$ <|with|> 
  $\beta < \alpha$, \<such that|sodass>
  $\MR^\M(\psi_i) <= \beta$.

  ** $\MR^\M(\phi) <= +\infty$ \<for any|für alle> $\phi$;
  *e)*

  ** \<Define the \defn{Morley rank} of an|Definiere der #Morleyrang# einer> 
  $\L(\M)$-<|formula|> <|by|>
  $\MR(\phi) := \MR^\N(\phi)$, <|where|> $\N >~ \M$ \<is any|jede> 
  $\aleph_0$-\<saturated|saturierte> \<elementary extension of|elementare 
  Erweiterung von> $\M$\<| ist>. (\<We prove in Lemma~{MRwdef}(ii) that this 
  is well-defined|Wir beweisen in Lemma~{MRwdef}(ii), dass dies wohl-definiert 
  ist>.)
  *e)*
  .

Remark:--
  ***) $\MR^\M(\phi(\x)) = 0 <==> 0 < |\phi(\M)| (- \omega <=> \MR(\phi(\x)) = 
  0.$
  ** <|If|> $\phi(\x)$ \<is|> minimal in $\M$\<, then| ist, gilt> 
  $\MR^\M(\phi) = 1$.
  ** <|If|> $\phi(\x)$ \<is strongly|streng> minimal in $\M$\<, then| ist, 
  gilt> $\MR(\phi) = 1$.
  *e)*
  .

Lemma{MRwdef}:
  ***(i)
  \<Let|Seien> $\M,\M'$ \<be|> $\aleph_0$-\<saturated|saturierte> 
  $\L$-<|structures|>.
  <|Let|> $\phi(\x,\y)$ \<be an|eine> $\L$-<|formula|>.
  \<Let|Seien> $\a (- \M^{|\y|}$ <|and|> $\a' (- (\M')^{|\y|}$ <|with|> 
  $\tp^\M(\a) = \tp^{\M'}(\a')$.
  <|Then|> $\MR^\M(\phi(\x,\a)) = \MR^{\M'}(\phi(\x,\a'))$.
  **(ii)
  <|Let|> $\M$ \<be an|eine> $\L$-<|structure|>.
  \<Let|Seien> $\N,\N' >~ \M$ \<be|> $\aleph_0$-\<saturated|saturierte> 
  \<elementary extensions|elementare Erweiterungen>.
  <|Let|> $\phi$ \<be an|eine> $\L(\M)$-<|formula|>.
  <|Then|> $\MR^\N(\phi) = \MR^{\N'}(\phi)$.

  \<Hence|Daher ist> $\MR(\phi)$ \<is well-defined|wohl-definiert>.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i)
  \<By the definition of|Nach der Definition von> $\MR^\M$\<, it suffices to 
  show| genügt es zu zeigen>:
  Claim|Behauptung*:
    <|Let|> $\alpha (- \Onpm$.
    \<Suppose|Angenommen,> $\MR^\M(\phi(\x,\a)) <= \alpha$.
    <|Then|> $\MR^{\M'}(\phi(\x,\a') <= \alpha$.
    .
  Proof:
    \<By induction on|Durch Induktion über> $\alpha$.
    <|If|> $\alpha = -\infty$, \<then|gilt> $\M' |= \neg\exists \x. 
    \phi(\x,\a')$\< since|, weil> $\M |= \neg\exists \x. \phi(\x,\a)$ <|and|> 
    $\a == \a'$.

    <|Let|> $\alpha (- \On$.
    \<Suppose there are|Angenommen, es gibt> $\psi_i(\x,\c'_i)$ <|for|> $i (- 
    \omega$ <|with|> $\psi_i(\x,\y_i)$ \<an|eine> $\L$-<|formula|> <|and|> 
    $\c'_i (- (\M')^{|\y_i|}$,
    \<such that|sodass> $\psi_i(\M',\c'_i)$ \<are disjoint subsets 
    of|disjunkte Teilmengen von> $\phi(\M',\a')$\<| sind>.
    <|By|> $\aleph_0$-<|saturation|> <|and|> $\a == \a'$\<, we can recursively 
    find|können wir rekursiv finden> $\c_i (- \M^{|y_i|}$\< such that|, 
    sodass> $\a,\c_0,...,\c_n == \a',\c'_0,...,\c'_n$ (\<for all|für alle> $n 
    (- \omega$).
    \<Then|Dann sind> $\psi_i(\M,\c_i)$ \<are disjoint subsets of|disjunkte 
    Teilmengen von> $\phi(\M,\a)$,
    \<so for some|also es gibt> $i (- \omega$ <|and|> $\beta < \alpha$\< we 
    have|, sodass> $\MR^\M(\psi_i(\M,\c_i)) <= \beta$.
    <|But|> $\c_i == \c_i'$, \<so by the inductive hypothesis we have|also 
    nach der Induktionsvoraussetzung gilt>
    $\MR^{\M'}(\psi_i(\M,\c'_i)) <= \beta$.
    \<So|Somit gilt> $\MR^{\M'}(\phi(\x,\a') <= \alpha$.

    <|For|> $\alpha = +\infty$ \<the claim is clear|ist die Behauptung klar>.
    .
  **(ii)
  <|Say|> $\phi = \phi(\x,\a)$, <|where|> $\phi(\x,\y)$ \<is an|eine> 
  $\L$-<|formula|> \<|ist> <|and|> $\a (- \M^{|\y|}$.
  \<Then|Dann gilt> $\tp^\N(\a) = \tp^\M(\a) = \tp^{\N'}(\a)$,
  \<so we conclude by|und die Behauptung folgt aus> (i).
  *ee*
  .

Lemma{MRdisj}:
  <|Let|> $\M$ \<be an|eine> $\L$-<|structure|>.
  \<Let|Seien> $\phi,\phi'$ \<be|> $\L(\M)$-<|formulas|>.
  ***(i)
    $\phi(\M) (= \phi'(\M) ==> \MR(\phi) <= \MR(\phi')$.
  **(ii)
    $\MR(\phi \/ \phi') = \max \{ \MR(\phi), \MR(\phi') \}$.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i) \<This follows directly from the definitions|Dies folgt direkt aus 
  den Definitionen>.
  **(ii) <|By|> (i)\<, it suffices to see|genügt es zu zeigen> $<=$. \<We show 
  this by induction on|Wir zeigen dies durch Induktion über> $\alpha$.

  \<So suppose|Angenommen,> $\MR(\phi),\MR(\phi') <= \alpha (- \On$\<, and we 
  show|; wir zeigen> $\MR(\phi \/ \phi') <= \alpha$.
  \<So let|Sei> $\N >~ \M$ \<be|> $\aleph_0$-\<saturated|saturiert>, <|and|> 
  \<say|seien> $(\psi_i)_{i (- \omega}$ \<are|> $\L(\N)$-<|formulas|>\< such 
  that|, sodass> $(\psi_i(\N))_i$ \<are disjoint subsets of|disjunkte 
  Teilmengen von> $\phi(\N) \cup \phi'(\N)$\<| sind>.
  \<Then|Dann ist> $\{ i (- \omega : \MR(\phi /\ \psi_i) >= \MR(\phi) \}$ \<is 
  finite|endlich>, <|and|> \<similarly for|ähnlich für> $\phi'$.
  \<So there is|Also es gibt>
  $i (- \omega$\< such that|, sodass> $\MR(\phi /\ \psi_i) < \MR(\phi) <= 
  \alpha$ <|and|> $\MR(\phi' /\ \psi_i) < \MR(\phi') <= \alpha$,
  \<so by the inductive hypothesis,|also durch der Induktionsvoraussetzung> 
  $$\MR(\psi_i) = \MR((\phi /\ \psi_i) \/ (\phi' /\ \psi_i)) < \alpha .$$
  *ee*
  .

## \<Morley degree|Morleygrad>
<|Let|> $\M$ \<be an|eine> $\aleph_0$-\<saturated|saturierte> 
$\L$-<|structure|>, <|and|> <|let|> $T := \Th(\M)$.

Lemma{MRBound}:
  Let $\phi$ be an $\L(\M)$ formula.
  If $\MR(\phi) >= (2^{|T|})^+$, then $\MR(\phi) = +\infty$.
  .
Proof:
  Let $\alpha (- \On$ be minimal such that no $\L(\M)$-formula has rank 
  $\alpha$. Then by transfinite induction, no formula has ordinal rank 
  $>=\alpha$. So $|\alpha|$ is the number of ordinal ranks attained by 
  $\L(\M)$-formulas.
  Now by Lemma~{MRwdef}(i), $\MR(\phi(\x,\a))$ depends only on the 
  $\L$-formula $\phi(\x,\y)$ and $\tp(\a)$. So $|\alpha| <= 
  |T|\cdot|S(\emptyset)| <= 2^{|T|}$.
  .

\newcommand{\xor}{\Delta}
Definition:
  <|For|> $\alpha (- \On$\<, say| sind> $\L(\M)$-<|formulas|> $\phi$ <|and|> 
  $\phi'$ \<are|> \defn{$\alpha$-\<equivalent|äquivalent>}, $\phi ~~_\alpha 
  \phi'$,
  <|if|> $\MR(\phi \xor \phi') < \alpha$.
  .

Lemma:
  $~~_\alpha$ \<is an equivalence relation|ist eine Äquivalenzrelation>.
  .
Proof:
  \<Reflexivity and symmetry are clear|Reflexivität und Symmetrie sind klar>.
  \<Transitivity follows from Lemma~{MRdisj}(ii) and the logical tautology
  |Transitivität folgt aus Lemma~{MRdisj}(ii) und der Tautologie>
  $$(\phi \xor \phi'') --> ((\phi \xor \phi') \/ (\phi' \xor \phi'')).$$
  .

Definition:
  \<An|Eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi$ <|is|> 
  \defn{$\alpha$-\<strongly-minimal|streng-minimal>} <|if|> $\MR(\phi) = 
  \alpha (- \On$
  \<and for every|und für jede> $\L(\M)$-<|formula|> $\psi$\<,|>
  <|either|> $\MR(\phi /\ \psi) < \alpha$ <|or|> $\MR(\phi /\ \neg \psi) < 
  \alpha$.
  .

Lemma{MD}:
  <|Let|> $\phi$ \<be an|eine> $\L(\M)$-<|formula|>.
  <|If|> $MR(\phi) = \alpha (- \On$,
  \<there are|gibt es> $d (- \omega$ <|and|> 
  $\alpha$-\<strongly-minimal|streng-minimale> $\L(\M)$-<|formulas|> 
  $\psi_1,...,\psi_d$\< such that|, sodass> $\phi <-->_T \\//_i \psi_i$ 
  <|and|> $\psi_i |-_T \neg \psi_j$ <|for|> $i /= j$.

  \<This number|Diese Anzahl> $d$ \<is uniquely determined|ist eindeutig 
  bestimmt>.
  \<The|Die> $\psi_i$ \<are unique up to|sind bis auf> $~~_\alpha$\<| 
  eindeutig bestimmt>.
  .
Proof:
  \<Suppose|Angenommen, dass> $\phi$ \<admits no such decomposition|besitzt 
  keine solche Zerlegung>.
  \<In particular|Insbesondere ist> $\phi$ \<is not|nicht> 
  $\alpha$-\<strongly-minimal|streng-minimal>,
  \<so say|also sei> $\MR(\phi /\ \psi) = \alpha = \MR(\phi /\ \neg\psi)$.
  \<If both|Wenn beide>
  $\phi /\ \psi$ <|and|> $\phi /\ \neg\psi$ \<admitted such a decomposition, 
  then so would|eine solche Zerlegung besäßen, besäße auch> $\phi$\<| eine>; 
  \<so at least one does not|Also besitzt mindestens ein keine solche 
  Zerlegung>.
  \<Continuing in this way, we obtain an infinite family of disjoint|Durch 
  Fortsetzung auf diese Weise, erlangen wir eine unendliche Familie von 
  disjunkte> $MR=\alpha$ \<subsets of|Teilmengen von> $\phi(\M)$, 
  \<contradicting|was> $\MR(\phi)=\alpha$\<| widerspricht>.

  \<For the uniqueness: if|Ad Eindeutigkeit: wenn> $\psi'$ \<is|> 
  $\alpha$-\<strongly-minimal|streng-minimal ist> <|and|> $\psi' |-_T \phi$, 
  \<then by|gilt nach> Lemma~{MRdisj}(ii) $MR(\psi' /\ \psi_i) = \alpha$ \<for 
  some|für ein> $i$, \<and then|also> $\psi' ~~_\alpha (\psi' /\ \psi_i) 
  ~~_\alpha \psi_i$. \<So up to|Bis auf> $~~_\alpha$\<, the| sind daher> 
  $\psi_i$ \<are precisely the|genau die> $\alpha$-\<strongly-minimal formulas 
  implying|streng-minimalen Formeln, die> $\phi$\<| implizieren>.
  .

Definition:
  <|Let|> $\phi$ \<be an|eine> $\L(\M)$-<|formula|>.

  <|If|> $\MR(\phi) (- \On$, \<the|ist der> \defn{\<Morley degree|Morleygrad>} 
  $\MD(\phi)$ \<is the number|die Anzahl> $d$ in Lemma~{MD}.
  <|If|> $\MR(\phi) (- \{ -\infty, +\infty\}$, <|set|> $\MD(\phi) := 0$.

  \<By|Nach> Lemma~{MRwdef}(i)\<,| hängt> $\MD(\phi(\x,\a))$ \<depends only 
  on|nur von> $\tp(\a)$\<| ab>,
  \<and in particular not on the choice of|insbesondere nicht von die Wahl 
  von> $\aleph_0$-\<saturated model|saturiertem Modell> $\M$.

  <|Set|> $\MRD(\phi) := (\MR(\phi),\MD(\phi)) (- \Onpm \times \omega$.
  \<We consider|Betrachte> $\Onpm \times \omega$ \<as a well-ordered set with 
  the lexicographic order
  |als eine Wohlordnung mit der lexikografischen Ordnung>.
  .

Remark|Bemerkung:
  $\phi$ \<is strongly minimal iff|ist streng minimal gdw> $\MRD(\phi) = 
  (1,1)$.
  .

Lemma{MDadd}:
  \<Let|Seien> $\phi,\phi'$ \<be|> $\L(\M)$-<|formulas|>
  <|with|> $\phi(\M) \cap \phi'(\M) = {}$.
  <|Then|>
  $$\MRD(\phi \/ \phi') = \begin{cases}
    \max(\MRD(\phi),\MRD(\phi')) & (\MR(\phi) /= \MR(\phi')) \\\
    (\MR(\phi), \MD(\phi) + \MD(\phi')) & (\MR(\phi) = \MR(\phi'))
  \end{cases}.$$
  .
Proof:
  \<Exercise|Übung>.
  .

Proposition{MRwstab}:
  $T$ \<is totally transcendental iff|ist total transcendent gdw> $\MR(\phi) < 
  +\infty$ \<for all|für alle> $\L(\M)$-<|formulas|> $\phi$.
  .
Proof:
  ***)[$==>$]:
  \<Suppose|Angenommen,> $\MR(\phi) = +\infty$.
  <|Then|> $\MR(\phi) > (2^{|T|})^+$, \<so|also> $\phi$ \<splits into|zerlegt 
  in Formeln> $\phi /\ \psi$ <|and|> $\phi /\ \neg \psi$ \<each of rank|beide 
  von Rang> $>=(2^{|T|})^+$\<, and hence by Lemma~{MRBound} of rank|und also 
  nach Lemma~{MRBound} von Rang> $+\infty$.
  \<So we obtain a binary tree contradicting total transcendence.
  |Somit finden wir einen binären Baum, der total Transcendenz widerspricht.>

  **[$<==$]:
  \<Suppose|Sei> $(\phi_s)_{s (- 2^{<\omega}}$ \<is a binary tree of|ein 
  binärer Baum von> $\L(\M)$-<|formulas|>.
  <|Say|> $\MRD(\phi_s) = \inf_s \MRD(\phi_s)$.
  \<By assumption,|Durch der Voraussetzungen gilt> $\MR(\phi_s) (- \On$.
  \<But then|Aber dann gilt> $\MRD(\phi_s) >= \MRD(\phi_{s0} \/ \phi_{s1})$, 
  <|and|> Lemma~{MDadd} \<yields a contradiction|ergibt einen Widerspruch>.
  *e)*
  .

Definition:
  \<If|Sei> $X$ \<is a|eine> $\M$-\<definable set, i.e.|definierbare Menge, 
  d.h.> $X = \phi(\M)$ \<for some|für eine> $\L(\M)$-<|formula|> $\phi$\<, we 
  set|. Dann setze> $\MRD(X) := \MRD(\phi)$.
  .

Lemma{MRdefbij}:
  <|Let|> $f : X --> Y$ \<be an|eine> $\M$-\<definable bijection 
  of|definierbare Bijektion von> $\M$-\<definable sets|definierbaren Mengen>.
  <|Then|> $MRD(X) = \MRD(Y)$.
  .
Proof:
  \<By induction on|Durch Induktion über> $\MRD$. \<Exercise|Übung>.
  .

Proposition[Baldwin-Saxl, tt \<case|Fall>]:
  <|Let|> $(G;\cdot)$ \<be a totally transcendental group. Then there is no 
  infinite descending chain of $G$-definable subgroups
  |eine total transzendente Gruppe. Dann gibt es kein unendliche absteigende 
  Kette von $G$-definierbare Untergruppe> $G = G_0 > G_1 > ...$.
  .
Proof:
  \<Suppose|Angenommen,> $(G_i)_i$ \<is such|ist solche>.
  \<Each|Jedes> $G_i$ \<contains|enthält> $G_{i+1}$ \<and a distinct (hence 
  disjoint) coset|und eine verschiedene (also disjunkt) Nebenklasse> 
  $g_iG_{i+1}$, <|and|> $\MRD(g_iG_{i+1}) = \MRD(G_{i+1})$\< since|, weil> $x 
  |-> g_ix$ \<is a definable bijection|eine definierbare Bijektion ist>.
  <|Now|> $\MR(G_i) < \infty$ \<by|nach> Proposition~{MRwstab},
  \<so by|also nach> Lemma~{MDadd}\<,| gilt> $\MRD(G_i) > \MRD(G_{i+1})$.
  \<So we contradict well-orderedness of|Somit widersprechen wir die 
  \?Wohlordnungkeit von> $\Onpm \times \omega$.
  .

Fact|Fakt[Macintyre]:
  \<Any totally transcendental field|Jeder total transzendenter Körper> 
  $(K;+,\cdot)$ \<is algebraically closed|ist algebraisch abgeschlossen>.
  .

Conjecture|Vermutung[Cherlin-Zilber \<Algebraicity Conjecture|Algebraizität-Vermuting>]:
  <|If|> $(G;\cdot)$ \<is an infinite simple group with|eine unendliche 
  einfache Gruppe mit> $\MR^{(G;\cdot)}(G) < \omega$\<, then| ist, ist> $G$ 
  \<is an algebraic group over an algebraically closed field|eine algebraische 
  Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper>.
  .

Definition:
  <|Let|> $A (= \M$.
  ***) <|For|> $p (- S(A)$, $\MRD(p) := \inf_{\phi (- p} \MRD(\phi)$.
  ** <|For|> $a (- \M$, $\MRD(a/A) := \MRD(\tp(a/A))$.
  *e)*
  .

Lemma{MR_F-Max}:
  % lightly sparkling
  <|Let|> $\phi$ \<be a consistent|eine konsistente> $\L(\M)$-<|formula|>.
  ***(i) $\MR(\phi) = \max \{ \MR(p) : \phi (- p (- S(\M) \}$.
  **(ii) <|If|> $\MR(\phi) (- \On$, \<then there are precisely|gibt es genau> 
  $\MD(\phi)$ \<types|viele Typen> $\phi (- p_i (- S(\M)$ <|with|> $\MR(p_i) = 
  \MR(\phi)$.
  *ee*
  .
Proof:
  ***(i)
  \<It suffices to find|Es genügt zu finden> $p (- S(\M)$ <|with|> $\MR(p) = 
  \MR(\phi)$.
  <|If|> $\MR(\phi) = +\infty$, \<any|hat jedes> $p -) \phi$ \<has|Rang> 
  $\MR(p) = +\infty$.
  \<Otherwise, let|Sonst: Sei> $\phi' |- \phi$ <|with|> $\MRD(\phi') = 
  (\MR(\phi),1)$.
  <|Then|> $p_{\phi'} := \{ \psi : \MR(\phi' /\ \psi) = \MR(\phi') \}$ \<is 
  complete and|ist vollständig und> $\MR(p) = \MR(\phi') = \MR(\phi)$.
  **(ii)
  \<By|Nach> Lemma~{MD}\<, any such type| enthält jeder solche Typ> $p_i$ 
  \<contains some|ein> $\phi'$ \<as in|wie in> (i), \<and then|also> $p_i = 
  p_{\phi'}$.
  *ee*
  .

Lemma{MRacl}:
  <|Let|> $A (= \M |= T$.
  <|If|> $\b (- \acl(A\cup\a)$, \<then|gilt> $\MR(\b/A) <= \MR(\a/A)$.
  .
Proof:
  \<By induction on|Durch Induktion über> $\alpha := \MR(\a/A)$.
  \<The result is immediate if|Der Behauptung ist sofort wenn> $\alpha = 
  +\infty$,
  \<so suppose|also nehmen wir an, dass> $\alpha (- \On$.

  <|Say|> $\psi(\x,\y) (- \tp(\a,\b/A)$ <|with|>
  $|= \forall\x\.\exists^{<=d}\y\.\psi(\x,\y)$
  <|and|> $\MR(\exists\y\.\psi(\x,\y)) = \alpha$.

  \<Suppose|Seien> $(\delta_i(\y))_{i (- \omega}$ \<are|> 
  $\L(\M)$-<|formulas|>\< defining disjoint subsets of|, die disjunkt 
  Teilmengen von> $\exists\x\.\psi(\x,\y)$\<| definieren>.

  <|Let|> $\epsilon_i(\x) := \exists\y\.(\psi(\x,\y) /\ \delta_i(\y))$.
  \<The conjunction of any|Die Konjunktion von jede> $d+1$ \<of the|von den>
  $\epsilon_i$ \<is inconsistent|ist inkonsistent>,
  \<and it follows that|und es folgt, dass> $\MR(\epsilon_{i_0}) < \alpha$ 
  \<for some|für ein> $i_0$;
  \<indeed, otherwise each|In der Tat: sonst ist jedes> $\epsilon_i$ \<is in 
  at least one of the finitely many|in mindestens eins von die endlich viele> 
  $\MR=\alpha$ \<types on|Typen auf> $\exists\y\.\psi(\x,\y)$ \<given by|von> 
  Lemma~{MR_F-Max}(ii), \<so one contains infinitely many|also enthält ein 
  unendlich viele> $\epsilon_i$, \<contradicting the inconsistency of any|was 
  die Inkonsistenz von jede> $d+1$ \<of them|widerspricht>.

  \<Now say|Nun sei> $A' (=f \M$\< is such that|, sodass> $\psi$ <|and|> 
  $\delta_{i_0}$ \<are both|sind beide> $\L(A')$-<|formulas|>. \<By|Nach> 
  Lemma~{MR_F-Max}(i) <|and|> $\aleph_0$-<|saturation|>\<, let| sei> $\b' (- 
  \delta_{i_0}(\M)$ \<be such that|mit> $\MR(\b'/A') = \MR(\delta_{i_0})$.
  \<Then there is|Dann gibt es> $\a' (- \epsilon_{i_0}(\M)$ \<such that|mit> 
  $\M |= \psi(\a',\b')$.
  \<So by the inductive assumption,|Nach der Induktionsvoraussetzung gilt>
  $\MR(\delta_{i_0}) = \MR(\b'/A') <= \MR(\a'/A') < \alpha$.
  <|Hence|> $\MR(\b/A) <= \MR(\exists\x\.\psi(\x,\y)) <= \alpha$, \<as 
  required|wie gewünscht>.
  .

## \<Morley rank in a strongly minimal theory|Morleyrang in einer streng minimalen Theorie>

<|Let|> $T$ \<be a strongly minimal theory|eine streng minimale Theorie>.
<|Let|> $\M |= T$ \<be|> $\aleph_0$-<|saturated|>.

Definition:
  <|Let|> $A (= \M$ <|and|> $\a (- \M^{<\omega}$.
  \<Then|Dann ist> $\dim(\a/A)$ \<is the maximal|das maximale> $n$ \<such 
  that|mit>
  $\a' |= \pp_A^{(n)}$ \<for some subtuple|für ein Untertupel> $\a'$ <|of|> 
  $\a$.
  .

Theorem|Satz:
  \<Let|Seien> $A (= \M$ <|and|> $\a (- \M^{<\omega}$.
  <|Then|> $\MR(\a/A) = \dim(\a/A)$.
  .
Proof:
  <|Let|> $n := \dim(\a/A)$, <|and|> <|let|> $\a'$ \<be a subtuple with|ein 
  Untertupel mit> $\a' |= \pp_A^{(n)}$. \<Then by the maximality,|Durch die 
  Maximalität gilt dann> $a_i (- \acl(A\cup\a')$ \<for all|für alle> $i$. 
  \<So|Dann> $\acl(A\cup\a') = \acl(A\cup\a)$, \<and so by|also nach> 
  Lemma~{MRacl} $\MR(\a/A) = \MR(\a'/A)$. \<So we may assume|Wir können somit 
  annehmen, dass> $\a = \a' |= \pp_A^{(n)}$ <|and|> $n>0$.
  \<We may inductively assume that|Wir können induktiv annehmen, dass> 
  $\MR(\a/Aa_1) = \dim(\a/Aa_1) = n-1$.

  <|Let|> $\psi(\x) (- \pp_A^{(n)}$.
  <|Set|> $\psi'(\x,y) := (\psi(\x) /\ x_1 .= y)$.
  <|Then|> $\a |= \psi'(\x,a_1)$, \<so|also> $\MR(\psi'(\x,a_1)) >= n-1$.
  \<By|Nach> Lemma~{MRwdef}(i)\<,|> $\MR(\psi'(\x,a'_1)) >= n-1$ \<for any|für 
  jedes> $a'_1 |= \pp_A$; \<these formulas are pairwise inconsistent, and 
  so|diese Formeln sind paarweise inkonsistent, also> $\MR(\psi) >= n$.
  
  \<By the result for|Nach der Behauptung für> $m < n$\<, we have inductively 
  that for every $B (= \M' |= T$, every type|haben wir inducktiv, dass für 
  jedes $B (= \M' |= T$ jeder Typ> $p (- S_n(B)$ <|with|> $p /= \pp_B^{(n)}$ 
  \<has rank|Rang> $\MR(p) < n$\<| hat>.

  \<Let|Sei> $\theta(\x)$ \<be an|eine> $\L(\M)$-<|formula|> <|with|> $\theta 
  |- \psi$ <|and|> $\MR(\theta) = n$.
  \<By|Nach> Lemma~{MR_F-Max}(i) \<applied to|für> $\theta$ \<and the previous 
  paragraph, we have|und dem letzen Absatz gilt> $\MR(\pp_\M^{(n)}) = n$.
  \<Then again by|Also noch nach> Lemma~{MR_F-Max}(i) \<and the previous 
  paragraph,|und dem letzen Absatz gilt>
  $\MR(\x .= \x) = n$.
  \<So|Dann> $\MR(\psi) = n$. \<Hence|Somit gilt> $\MR(\pp_A^{(n)}) = n$.
  .

# \<Acknowledgements|Anerkennungen>
Thanks to Tim Clausen who assisted the course and wrote the problem sheets, in 
particular for his patience in answering my many questions on German grammar 
and usage, and for correcting many of my errors.
Thanks to the participants of the course.
Thanks to Blaise Boissonneau, Morris Kopelke, and Jonathan Krebs for pointing 
out errors and omissions along the way.
Thanks to Martin Hils, Franziska Jahnke, and Itay Kaplan for helpful 
discussion.

This course was based on previous iterations of the Münster Logik II course, 
and in preparing it I made extensive use of lecture notes by Martin Hils, 
Franziska Jahnke, and Katrin Tent on their versions of the course. The course 
also owes much to the books of Tent-Ziegler, Marker, Hodges, Buechler, and 
Hils-Loeser. My thanks to all these authors.
